Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
\int\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right) d x=x-3 \sqrt[3]{x}+C

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
F(x)=x-3\,\sqrt[3]{x}+C
é uma primitiva de
f(x)=1-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}
ou seja, verificar que F'(x)=f(x). Vamos usar a regra da derivada de potência e lembrar que \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} e \tfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}=x^{-\frac{2}{3}}.

Passo 2

Reescrevemos
F(x)=x-3\,x^{\frac{1}{3}}+C.
Aplicaremos a derivação termo a termo.

Passo 3

Derivando F(x):
  • A derivada de x é
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.
  • A derivada de -3\,x^{\frac{1}{3}} é
\frac{d}{dx}\bigl(-3\,x^{\frac{1}{3}}\bigr) =-3\cdot\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3}-1} =-x^{-\frac{2}{3}}.
  • A derivada de C é zero.
Somando,
F'(x)=1 - x^{-\frac{2}{3}}.

Passo 4

Observamos que
x^{-\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}},
logo
F'(x)=1-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}
é exatamente o integrando f(x). Assim, a afirmação está correta.

Resposta

A afirmação está correta, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x-3\sqrt[3]{x}+C\bigr) =1-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}.

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