Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
\int 2 \sqrt{x}(x-3) d x=\frac{4 x^{3 / 2}(x-5)}{5}+C

Passo 1

O enunciado pede verificar que
\int 2\sqrt{x}\,(x-3)\,dx = \frac{4\,x^{3/2}(x-5)}{5}+C
mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando. Para isso vamos usar a regra do produto e a derivada de potência.

Passo 2

Definimos
F(x)=\frac{4\,x^{3/2}(x-5)}{5}.

Passo 3

Como F(x)=\tfrac{4}{5}u(x)v(x) com u(x)=x^{3/2} e v(x)=x-5, aplicamos a regra do produto:
F'(x) =\frac{4}{5}\bigl(u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}, \quad v'(x)=1.
Substituindo em F'(x), obtemos
F'(x) =\frac{4}{5}\Bigl(\frac{3}{2}x^{1/2}(x-5)+x^{3/2}\Bigr).

Passo 5

Colocando x^{1/2} em evidência e simplificando:
F'(x) =\frac{4}{5}\Bigl(\frac{3}{2}x^{1/2}x-\frac{15}{2}x^{1/2}+x^{3/2}\Bigr) =\frac{4}{5}\Bigl(\frac{5}{2}x^{3/2}-\frac{15}{2}x^{1/2}\Bigr) =\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{1/2}(x-3) =2\,x^{1/2}(x-3).

Resposta

A derivada de \tfrac{4\,x^{3/2}(x-5)}{5}+C é
2\sqrt{x}\,(x-3),
que coincide com o integrando, logo a afirmação está correta.

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