Nos Exercícios 1-8, verifique que a afirmação está correta mostrando que a derivada do lado direito é igual ao integrando do lado esquerdo.
\int(x-2)(x+2) d x=\frac{1}{3} x^{3}-4 x+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
F(x)=\tfrac{1}{3}x^3-4x+C
é uma primitiva de (x-2)(x+2), ou seja, mostrar que F'(x)=(x-2)(x+2). Vamos usar regras básicas de derivação: derivada de x^n é n\,x^{n-1} e derivada de constante é zero.

Passo 2

Expandindo o integrando, temos
(x-2)(x+2)=x^2-4.

Passo 3

Agora calculemos a derivada de
F(x)=\tfrac{1}{3}x^3-4x+C.
Pela regra da potência e da soma,
F'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{3}x^3\Bigr)-\frac{d}{dx}(4x)+\frac{d}{dx}\text{(C)} =x^2-4+0 =x^2-4.

Passo 4

Como F'(x)=x^2-4 e isso coincide com (x-2)(x+2), concluímos que a primitiva está correta.

Resposta

A derivada de \tfrac{1}{3}x^3-4x+C é (x-2)(x+2), logo a afirmação está verificada.

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