Nos exercícios de 27 a 35, encontre F(s) ou f(s) como indicado.
\&{L}\left\{t e^{10 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t\,e^{10t}. Vamos usar definição de transformada de Laplace e a propriedade de derivação em s.

Passo 2

Recordando que, se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\},
então vale a propriedade
\mathcal{L}\{t\,f(t)\} \;=\; -\frac{d}{ds}F(s).

Passo 3

Definimos g(t)=e^{10t}. Pela definição,
G(s)=\mathcal{L}\{e^{10t}\} =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,e^{10t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-10)t}\,dt =\frac{1}{s-10},
válido para \mathrm{Re}(s)>10.

Passo 4

Aplicando a propriedade de derivada,
\mathcal{L}\{t\,e^{10t}\} =-\frac{d}{ds}G(s) =-\frac{d}{ds}\frac{1}{s-10} =\frac{1}{(s-10)^2}.

Resposta

\mathcal{L}\{t\,e^{10t}\}=\frac{1}{(s-10)^2},\quad \mathrm{Re}(s)>10.

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