É preciso aplicar o método de Gauss-Jordan (redução por linhas na matriz aumentada) para determinar a inversibilidade e, se existir, obter A^{-1}.]
Passo 2
Vou explicar rapidinho o que significa “ter inversa” e o que faz o método de Gauss-Jordan, de forma bem didática.
Definição prática: Uma matriz quadrada A é inversível (ou não singular) se existir outra matriz B tal que AB=BA=I, onde I é a matriz identidade. Uma condição prática e fácil de checar é que \det(A)\neq 0 implica que A é inversível; se \det(A)=0, então A não é inversível.
Método de Gauss-Jordan para encontrar A^{-1}: monta-se a matriz aumentada [A\;|\;I] e aplica-se operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) até transformar o bloco esquerdo em I. Se isso for possível, o bloco direito final será A^{-1}. Se durante a redução aparecer uma linha de zeros no bloco esquerdo enquanto o bloco direito dessa linha NÃO for todo zero, ou simplesmente não for possível obter I no bloco esquerdo, então A não é inversível.
Operações elementares de linha preservam a equivalência das equações associadas e são válidas para encontrar inversas porque correspondem a multiplicações por matrizes elementares (todas inversíveis).
Observação crucial: no bloco esquerdo apareceu uma linha de zeros. Para que A fosse inversível seria necessário que o bloco esquerdo chegasse a I, isto é, que não houvesse linha zero. Além disso, uma linha (0,0,0) no bloco esquerdo associada a um vetor não-nulo no bloco direito indica inconsistência no sistema que define a inversa — sinal claro de que não existe A^{-1}.]
Passo 7
Como verificação alternativa e rápida, calculo o determinante de A. Se \det(A)=0 então A não é inversível. Calculemos por expansão:
Como \det(A)=0, a matriz A é singular e, portanto, não possui inversa.]
Passo 8
Conclusão prática e encorajamento: o processo de Gauss-Jordan mostrou diretamente uma linha nula no bloco esquerdo (com bloco direito não nulo), e o cálculo do determinante confirma \det(A)=0. Isso é prova de que A não é inversível, então não existe A^{-1}. Pode até parecer chato, mas detectar que uma matriz NÃO tem inversa é tão importante quanto calcular uma inversa — você já fez o trabalho certo ao reduzir a matriz e verificar o determinante. Força aí, você está indo bem!
Resposta
A não é inversível (\det(A)=0); portanto não existe A^{-1}.