Exercise 5. Decida quais matrizes abaixo possuem inversa. Para as que forem inversíveis, calcule a inversa pelo método de Gauss-Jordan.
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\ 0 & 2 & -1 \\\ 1 & 3 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece uma única matriz A e pede duas coisas:
  • Decidir se a(s) matriz(es) possui(em) inversa(s).
  • Para as que forem inversíveis, calcular a inversa pelo método de Gauss-Jordan.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & -1 \\[4pt] 1 & 3 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes do enunciado:
  • É preciso aplicar o método de Gauss-Jordan (redução por linhas na matriz aumentada) para determinar a inversibilidade e, se existir, obter A^{-1}.]

Passo 2

Vou explicar rapidinho o que significa “ter inversa” e o que faz o método de Gauss-Jordan, de forma bem didática.
  • Definição prática: Uma matriz quadrada A é inversível (ou não singular) se existir outra matriz B tal que AB=BA=I, onde I é a matriz identidade. Uma condição prática e fácil de checar é que \det(A)\neq 0 implica que A é inversível; se \det(A)=0, então A não é inversível.
  • Método de Gauss-Jordan para encontrar A^{-1}: monta-se a matriz aumentada [A\;|\;I] e aplica-se operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) até transformar o bloco esquerdo em I. Se isso for possível, o bloco direito final será A^{-1}. Se durante a redução aparecer uma linha de zeros no bloco esquerdo enquanto o bloco direito dessa linha NÃO for todo zero, ou simplesmente não for possível obter I no bloco esquerdo, então A não é inversível.
Operações elementares de linha preservam a equivalência das equações associadas e são válidas para encontrar inversas porque correspondem a multiplicações por matrizes elementares (todas inversíveis).

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [A\;|\;I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
O objetivo seria transformar o bloco esquerdo 3\times3 em \displaystyle\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} usando operações de linha.]

Passo 4

Primeira operação conveniente: eliminar o elemento (3,1) usando R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Aplicando:
  • Na linha 3, calculamos (1,3,0) - (1,1,1) = (0,2,-1) no bloco esquerdo.
  • No bloco direito, (0,0,1) - (1,0,0) = (-1,0,1).
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Note que agora as linhas 2 e 3 têm o mesmo bloco esquerdo (0,2,-1), mas blocos direitos diferentes.]

Passo 5

Para trabalhar com pivô na segunda coluna, divido a linha 2 por 2 (operação R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2) para obter pivô 1:
R_2 = \tfrac{1}{2}(0,2,-1\;|\;0,1,0) = (0,1,-\tfrac{1}{2}\;|\;0,\tfrac{1}{2},0).
Aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora elimino o elemento (3,2) com R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Calculemos:
  • Bloco esquerdo linha 3: (0,2,-1) - 2(0,1,-\tfrac{1}{2}) = (0,2,-1) - (0,2,-1) = (0,0,0).
  • Bloco direito linha 3: (-1,0,1) - 2(0,\tfrac{1}{2},0) = (-1,0,1) - (0,1,0) = (-1,-1,1).
Portanto a linha 3 fica (0,0,0\;|\;-1,-1,1) e a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Observação crucial: no bloco esquerdo apareceu uma linha de zeros. Para que A fosse inversível seria necessário que o bloco esquerdo chegasse a I, isto é, que não houvesse linha zero. Além disso, uma linha (0,0,0) no bloco esquerdo associada a um vetor não-nulo no bloco direito indica inconsistência no sistema que define a inversa — sinal claro de que não existe A^{-1}.]

Passo 7

Como verificação alternativa e rápida, calculo o determinante de A. Se \det(A)=0 então A não é inversível. Calculemos por expansão:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
Agora cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0 - (-1)\cdot3 = 3,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0 - (-1)\cdot1 = 1,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3 - 2\cdot1 = -2.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot 3 - 1\cdot 1 + 1\cdot(-2) = 3 - 1 - 2 = 0.
Como \det(A)=0, a matriz A é singular e, portanto, não possui inversa.]

Passo 8

Conclusão prática e encorajamento: o processo de Gauss-Jordan mostrou diretamente uma linha nula no bloco esquerdo (com bloco direito não nulo), e o cálculo do determinante confirma \det(A)=0. Isso é prova de que A não é inversível, então não existe A^{-1}. Pode até parecer chato, mas detectar que uma matriz NÃO tem inversa é tão importante quanto calcular uma inversa — você já fez o trabalho certo ao reduzir a matriz e verificar o determinante. Força aí, você está indo bem!

Resposta

A não é inversível ( \det(A)=0); portanto não existe A^{-1}.

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