Exercise 1. Prove a seguinte regra associativa para produtos de matrizes. Sejam A_{m \times n}, B_{n \times k} e C_{k \times \ell} três matrizes. Mostre que
(A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C) .

Passo 1

O enunciado dá três matrizes com dimensões compatíveis para multiplicação:
  • A é m\times n. Vou denotar seu elemento da linha i e coluna j por a_{ij}.
  • B é n\times k. Vou denotar seu elemento da linha j e coluna p por b_{j p}.
  • C é k\times \ell. Vou denotar seu elemento da linha p e coluna \ell por c_{p\ell}.
O que se pede: mostrar que
(A\cdot B)\cdot C = A\cdot(B\cdot C).

Passo 2

Recordando a definição de multiplicação de matrizes (essa é a peça central da prova): se X é uma matriz r\times s e Y é s\times t, então o elemento na linha i e coluna q do produto X\!Y é
(XY)_{i q}=\sum_{u=1}^{s} x_{i u}\,y_{u q},
ou seja, multiplica-se a linha i de X pela coluna q de Y termo a termo e soma-se.
Vou aplicar essa definição para comparar os elementos de (A B)C e de A(B C).

Passo 3

Calcular o elemento ((A B)C)_{i\ell}. Primeiro defino a matriz intermediária D:=A B. Peladefinição, seus elementos são
d_{i p}=(A B)_{i p}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\,b_{j p},
onde i\in\{1,\dots,m\} e p\in\{1,\dots,k\}.
Agora aplico a definição novamente para obter o elemento (D C)_{i\ell}=( (A B) C)_{i\ell}:
((A B)C)_{i\ell}=\sum_{p=1}^{k} d_{i p}\,c_{p\ell}.

Passo 4

Substituo d_{i p} pela sua expressão em soma, obtendo uma soma dupla:
((A B)C)_{i\ell} = \sum_{p=1}^{k}\Bigg(\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\,b_{j p}\Bigg) c_{p\ell}.
Aqui temos uma soma finita de termos que são produtos de escalares. Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição e a comutatividade/associatividade da soma finita, posso reordenar e agrupar os somatórios; isto é, posso trocar a ordem das somas porque são somas finitas. Fazendo essa troca (primeiro somar sobre p, depois sobre j ou vice‑versa) obtemos:
((A B)C)_{i\ell} = \sum_{j=1}^{n} a_{i j}\Bigg(\sum_{p=1}^{k} b_{j p}\,c_{p\ell}\Bigg).

Passo 5

Reconheço a soma interior \sum_{p=1}^{k} b_{j p}\,c_{p\ell} como, por definição, o elemento (B C)_{j\ell} do produto B C. Assim
((A B)C)_{i\ell} = \sum_{j=1}^{n} a_{i j}\,(B C)_{j\ell}.
Mas a expressão à direita é exatamente a definição do elemento i\ell do produto A(B C). Ou seja,
((A B)C)_{i\ell}=(A(B C))_{i\ell}
para todo i\in\{1,\dots,m\} e todo \ell\in\{1,\dots,\ell\}.

Passo 6

Como os elementos correspondentes de (A B)C e de A(B C) coincidem para todas as posições (i,\ell), conclui-se que as duas matrizes são exatamente iguais (duas matrizes são iguais quando todos os seus elementos correspondentes são iguais).
Se quiser uma intuição rápida com números: escolher m=n=k=\ell=2 e entradas quaisquer em A,B,C, e repetir as contas acima mostra que o elemento (1,1) de (AB)C e de A(BC) coincide; o mesmo vale para as demais posições — sempre pelas mesmas manipulações algébricas.

Passo 7

Conclusão formal: a multiplicação de matrizes é associativa, isto é, para quaisquer A_{m\times n}, B_{n\times k} e C_{k\times\ell} vale
(A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C).

Resposta

(A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)

Exercícios relacionados