Exercise 1. Prove a seguinte regra associativa para produtos de matrizes. Sejam
,
e
três matrizes. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá três matrizes com dimensões compatíveis para multiplicação:
-
é . Vou denotar seu elemento da linha e coluna por . -
é . Vou denotar seu elemento da linha e coluna por . -
é . Vou denotar seu elemento da linha e coluna por .
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Recordando a definição de multiplicação de matrizes (essa é a peça central da prova): se
é uma matriz
e
é
, então o elemento na linha
e coluna
do produto
é
ou seja, multiplica-se a linha
de
pela coluna
de
termo a termo e soma-se.
Vou aplicar essa definição para comparar os elementos de
e de
.
Passo 3
Calcular o elemento
. Primeiro defino a matriz intermediária
. Peladefinição, seus elementos são
onde
e
.
Agora aplico a definição novamente para obter o elemento
:
Passo 4
Substituo
pela sua expressão em soma, obtendo uma soma dupla:
Aqui temos uma soma finita de termos que são produtos de escalares. Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição e a comutatividade/associatividade da soma finita, posso reordenar e agrupar os somatórios; isto é, posso trocar a ordem das somas porque são somas finitas. Fazendo essa troca (primeiro somar sobre
, depois sobre
ou vice‑versa) obtemos:
Passo 5
Reconheço a soma interior
como, por definição, o elemento
do produto
. Assim
Mas a expressão à direita é exatamente a definição do elemento
do produto
. Ou seja,
para todo
e todo
.
Passo 6
Como os elementos correspondentes de
e de
coincidem para todas as posições
, conclui-se que as duas matrizes são exatamente iguais (duas matrizes são iguais quando todos os seus elementos correspondentes são iguais).
Se quiser uma intuição rápida com números: escolher
e entradas quaisquer em
, e repetir as contas acima mostra que o elemento (1,1) de
e de
coincide; o mesmo vale para as demais posições — sempre pelas mesmas manipulações algébricas.
Passo 7
Conclusão formal: a multiplicação de matrizes é associativa, isto é, para quaisquer
,
e
vale