Seja
uma matriz tal que
(a) Mostre que todo autovalor de
pertence ao conjunto
.
(b) Dê um exemplo de tal matriz e determine seus autovetores.
(b) Dê um exemplo de tal matriz e determine seus autovetores.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com a propriedade
Pede-se:
(a) provar que todo autovalor de pertence a
;
(b) dar um exemplo concreto de uma matriz que satisfaça
e determinar os autovetores dessa matriz.
(a) provar que todo autovalor de
(b) dar um exemplo concreto de uma matriz
Informações relevantes fornecidas:
- A condição
vale para toda a matriz . - Precisamos trabalhar com autovalores e autovetores (ou seja, buscar
e vetores não nulos tais que ).
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que é um autovalor e um autovetor (para não deixar nada subentendido).
- Um vetor
, , é um autovetor de associado ao autovalor se vale
- Em termos práticos, para encontrar autovalores costuma-se resolver a equação característica
, e para cada autovalor encontrar os vetores que satisfazem .
Aqui, porém, vamos usar diretamente a relaçãoaplicada a um autovetor — esse é o caminho mais curto e elegante.
Passo 3
Prova de (a). Seja
um autovetor de
correspondente ao autovalor
. Ou seja,
com
. Aplicando
aos dois lados dessa igualdade (ou seja, computando
) obtemos
Agora substituímos
novamente no membro da direita:
Por outro lado, pela hipótese do enunciado
, então
. Usando
temos
Comparando as duas expressões para
obtemos
Isso dá
Como
, um produto escalar de escalar por vetor ser o vetor zero só é possível se o escalar for zero. Logo
o que implica que
Concluímos que qualquer autovalor
de
satisfaz
. Isso prova (a).
Passo 4
Comentário sobre interpretação: a propriedade
caracteriza matrizes idempotentes (projetores lineares). Intuitivamente, tais matrizes projetam o espaço
sobre um subespaço
(autovalor
) e “anulam” o complemento (autovalor
). Em dimensão
os autovalores possíveis são só
e
, com multiplicidades que dependem da dimensão do subespaço projetado.
Passo 5
Agora (b): vou construir um exemplo simples e resolver os autovetores passo a passo. Uma escolha natural é projetar sobre o eixo
. Considere
Primeiro verifico que
:
Portanto
satisfaz a condição do enunciado.]
Passo 6
Determinar os autovetores de [A).
- Autovalor
. Resolver . Aqui é a identidade , então
Procuramos
tal que
. Isso dá o sistema
ou seja
livre. Portanto os autovetores associados a
são todos os vetores da forma
ou seja, múltiplos de
.
- Autovalor
. Resolver . Escrevendo obtemos
portanto
e
livre. Logo os autovetores associados a
são todos os vetores da forma
ou seja, múltiplos de
.
Assim, para este exemplo temos autovalores
com autovetores gerados por
e
, respectivamente.]
Passo 7
Dou mais um exemplo (útil para perceber que nem sempre a matriz idempotente é diagonal): projeção ortogonal sobre a reta
. Tome
Verificação rápida:
Os autovetores: para
tem-se vetor
(a reta projetada) e para
tem-se vetor
(direção anulada). Isso mostra variedades de exemplos, mas em todos os casos os autovalores são
e
, conforme (a).]
Passo 8
Dica prática para a prova: se aparecer uma matriz com
e pedirem autovalores, já escreva o raciocínio com um autovetor
e observe que
leva direto a
. Para encontrar autovetores escolha um exemplo concreto (projeção simples) ou calcule
para
e
.
Resposta
(a) Todo autovalor de
pertence a
.
(b) Exemplo:
. Autovetores: para
são múltiplos de
; para
são múltiplos de
.]