Seja A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) uma matriz tal que
A^{2}=A
(a) Mostre que todo autovalor de A pertence ao conjunto \{0,1\}.
(b) Dê um exemplo de tal matriz e determine seus autovetores.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) com a propriedade
A^{2}=A.
Pede-se:
(a) provar que todo autovalor de A pertence a \{0,1\};
(b) dar um exemplo concreto de uma matriz 2\times2 que satisfaça A^{2}=A e determinar os autovetores dessa matriz.
Informações relevantes fornecidas:
  • A condição A^{2}=A vale para toda a matriz A.
  • Precisamos trabalhar com autovalores e autovetores (ou seja, buscar \lambda\in\mathbb{R} e vetores não nulos v tais que Av=\lambda v).

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que é um autovalor e um autovetor (para não deixar nada subentendido).
  • Um vetor v\in\mathbb{R}^{2}, v\neq 0, é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda\in\mathbb{R} se vale
Av=\lambda v.
  • Em termos práticos, para encontrar autovalores costuma-se resolver a equação característica \det(A-\lambda I)=0, e para cada autovalor \lambda encontrar os vetores v\neq0 que satisfazem (A-\lambda I)v=0.
    Aqui, porém, vamos usar diretamente a relação A^{2}=A aplicada a um autovetor — esse é o caminho mais curto e elegante.

Passo 3

Prova de (a). Seja v\in\mathbb{R}^{2} um autovetor de A correspondente ao autovalor \lambda. Ou seja,
Av=\lambda v,
com v\neq0. Aplicando A aos dois lados dessa igualdade (ou seja, computando A(Av)) obtemos
A^{2}v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda (Av).
Agora substituímos Av=\lambda v novamente no membro da direita:
A^{2}v = \lambda (\lambda v) = \lambda^{2} v.
Por outro lado, pela hipótese do enunciado A^{2}=A, então A^{2}v = Av. Usando Av=\lambda v temos
A^{2}v = Av = \lambda v.
Comparando as duas expressões para A^{2}v obtemos
\lambda^{2} v = \lambda v.
Isso dá
(\lambda^{2}-\lambda)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda-1)v = 0.
Como v\neq0, um produto escalar de escalar por vetor ser o vetor zero só é possível se o escalar for zero. Logo
\lambda(\lambda-1)=0,
o que implica que
\lambda=0 \quad\text{ou}\quad \lambda=1.
Concluímos que qualquer autovalor \lambda de A satisfaz \lambda\in\{0,1\}. Isso prova (a).

Passo 4

Comentário sobre interpretação: a propriedade A^{2}=A caracteriza matrizes idempotentes (projetores lineares). Intuitivamente, tais matrizes projetam o espaço \mathbb{R}^{2} sobre um subespaço W (autovalor 1) e “anulam” o complemento (autovalor 0). Em dimensão 2 os autovalores possíveis são só 0 e 1, com multiplicidades que dependem da dimensão do subespaço projetado.

Passo 5

Agora (b): vou construir um exemplo simples e resolver os autovetores passo a passo. Uma escolha natural é projetar sobre o eixo x. Considere
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Primeiro verifico que A^{2}=A:
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot0 \\[4pt] 0\cdot1+0\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=A.
Portanto A satisfaz a condição do enunciado.]

Passo 6

Determinar os autovetores de [A).
  • Autovalor \lambda=1. Resolver (A-I)v=0. Aqui I é a identidade 2\times2, então
A-I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Procuramos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}\neq0 tal que (A-I)v=0. Isso dá o sistema
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x + (-1)\cdot y = 0, \end{cases}
ou seja y=0\] e \(x livre. Portanto os autovetores associados a \lambda=1 são todos os vetores da forma
\begin{pmatrix}x\\[4pt] 0\end{pmatrix},\quad x\neq0,
ou seja, múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
  • Autovalor \lambda=0. Resolver Av=0. Escrevendo v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\\[4pt] 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix},
portanto x=0 e y livre. Logo os autovetores associados a \lambda=0 são todos os vetores da forma
\begin{pmatrix}0\\[4pt] y\end{pmatrix},\quad y\neq0,
ou seja, múltiplos de \begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Assim, para este exemplo temos autovalores \{1,0\} com autovetores gerados por \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}, respectivamente.]

Passo 7

Dou mais um exemplo (útil para perceber que nem sempre a matriz idempotente é diagonal): projeção ortogonal sobre a reta y=x. Tome
B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida:
B^{2}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=B.
Os autovetores: para \lambda=1 tem-se vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} (a reta projetada) e para \lambda=0 tem-se vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} (direção anulada). Isso mostra variedades de exemplos, mas em todos os casos os autovalores são 0 e 1, conforme (a).]

Passo 8

Dica prática para a prova: se aparecer uma matriz com A^{2}=A e pedirem autovalores, já escreva o raciocínio com um autovetor v\neq0 e observe que A^{2}v=Av leva direto a \lambda(\lambda-1)=0. Para encontrar autovetores escolha um exemplo concreto (projeção simples) ou calcule (A-\lambda I)v=0 para \lambda=0 e \lambda=1.

Resposta

(a) Todo autovalor de A pertence a \{0,1\}.
(b) Exemplo: A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}. Autovetores: para \lambda=1 são múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}; para \lambda=0 são múltiplos de \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

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