In Exercises 35-38, solve the system using ei ther Gaussian elimination with back-substitution or Gauss-Jordan elimination.
35.
35.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema (encontar todas as soluções):
As informações dadas são exatamente essas duas equações lineares envolvendo as quatro incógnitas
. O objetivo é achar
que satisfaçam ambas as equações (pode haver uma família infinita de soluções, pois há mais incógnitas do que equações).]
Passo 2
Rápida explicação do método que vou usar (explicação didática): a eliminação (método de Gauss) consiste em combinar as equações por operações elementares (multiplicar uma equação por número não nulo, somar/subtrair equações) para eliminar incógnitas e obter equações mais simples. Cada operação faz a mesma coisa que trocar linhas numa matriz aumentada. Quando o número de incógnitas é maior que o número de equações, normalmente obtemos variáveis livres (parâmetros) e uma família de soluções. Vou eliminar
primeiro, porque aparece nas duas equações com coeficientes simples.
Passo 3
Eliminar
combinando múltiplos das equações. Multiplico a primeira equação por
e a segunda por
para obter o mesmo coeficiente para
:
Agora subtraio a segunda linha da primeira (ou vice-versa) para eliminar
e
:
Isso dá a equação resultante
Passo 4
Resolver a equação obtida para
em função de
. Da equação
temos
Isto mostra que
depende linearmente de
; portanto
é (ou pode ser) uma variável livre.
Passo 5
Substituir a expressão de
numa das equações originais para relacionar
e
com
. Uso a primeira equação:
Substituindo
,
Calculo os produtos:
e
. Então
Somando os termos em
:
. Reagrupando,
Passo os termos constantes para o outro lado:
Dividindo por
para simplificar:
Note que a segunda equação original conduz à mesma relação (se verificar, divide-se por
e obtém-se a mesma igualdade), então não há conflito — há, na prática, uma única equação independente para
e
.
Passo 6
Interpretar a situação e parametrizar as soluções (aula sobre variáveis livres): temos 4 incógnitas e, após a eliminação, apenas 2 equações independentes (na verdade, apenas uma relação nova além da que expressa
em função de
). Portanto o sistema é indeterminado e admite infinitely muitas soluções. Escolhemos algumas variáveis como livres (parâmetros). Uma escolha conveniente é tomar
e
como parâmetros livres. Denotemos
com
. Então, pela relação
, obtemos
E já tínhamos
, logo
Assim todas as incógnitas são expressas em termos dos parâmetros
e
.
Passo 7
Resumo da família de soluções em forma vetorial (opcional, para visualização): a solução geral pode ser escrita como