In Exercises 35-38, solve the system using ei ther Gaussian elimination with back-substitution or Gauss-Jordan elimination.
35.
\begin{aligned}& 4 x+12 y-7 z-20 w=22 \\& 3 x+9 y-5 z-28 w=30\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema (encontar todas as soluções):
\begin{aligned} 4x+12y-7z-20w&=22,\\[4pt] 3x+9y-5z-28w&=30. \end{aligned}
As informações dadas são exatamente essas duas equações lineares envolvendo as quatro incógnitas x,y,z,w. O objetivo é achar x,y,z,w que satisfaçam ambas as equações (pode haver uma família infinita de soluções, pois há mais incógnitas do que equações).]

Passo 2

Rápida explicação do método que vou usar (explicação didática): a eliminação (método de Gauss) consiste em combinar as equações por operações elementares (multiplicar uma equação por número não nulo, somar/subtrair equações) para eliminar incógnitas e obter equações mais simples. Cada operação faz a mesma coisa que trocar linhas numa matriz aumentada. Quando o número de incógnitas é maior que o número de equações, normalmente obtemos variáveis livres (parâmetros) e uma família de soluções. Vou eliminar x primeiro, porque aparece nas duas equações com coeficientes simples.

Passo 3

Eliminar x combinando múltiplos das equações. Multiplico a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para obter o mesmo coeficiente para x:
\begin{aligned} 3\cdot(4x+12y-7z-20w)&=3\cdot 22\quad\Rightarrow\quad 12x+36y-21z-60w=66,\\[4pt] 4\cdot(3x+9y-5z-28w)&=4\cdot 30\quad\Rightarrow\quad 12x+36y-20z-112w=120. \end{aligned}
Agora subtraio a segunda linha da primeira (ou vice-versa) para eliminar x e y:
(12x+36y-21z-60w)-(12x+36y-20z-112w) = 66-120.
Isso dá a equação resultante
- z + 52w = -54.]

Passo 4

Resolver a equação obtida para z em função de w. Da equação
- z + 52w = -54
temos
z - 52w = 54 \quad\Rightarrow\quad z = 54 + 52w.
Isto mostra que z depende linearmente de w; portanto w é (ou pode ser) uma variável livre.

Passo 5

Substituir a expressão de z numa das equações originais para relacionar x e y com w. Uso a primeira equação:
4x+12y-7z-20w=22.
Substituindo z=54+52w,
4x+12y-7(54+52w)-20w=22.
Calculo os produtos: -7\cdot54=-378 e -7\cdot52w=-364w. Então
4x+12y-378-364w-20w=22.
Somando os termos em w: -364w-20w=-384w. Reagrupando,
4x+12y-378-384w=22.
Passo os termos constantes para o outro lado:
4x+12y = 22 + 378 + 384w = 400 + 384w.
Dividindo por 4 para simplificar:
x + 3y = 100 + 96w.
Note que a segunda equação original conduz à mesma relação (se verificar, divide-se por 3 e obtém-se a mesma igualdade), então não há conflito — há, na prática, uma única equação independente para x e y.

Passo 6

Interpretar a situação e parametrizar as soluções (aula sobre variáveis livres): temos 4 incógnitas e, após a eliminação, apenas 2 equações independentes (na verdade, apenas uma relação nova além da que expressa z em função de w). Portanto o sistema é indeterminado e admite infinitely muitas soluções. Escolhemos algumas variáveis como livres (parâmetros). Uma escolha conveniente é tomar y e w como parâmetros livres. Denotemos
y = s,\qquad w = t,
com s,t\in\mathbb{R}. Então, pela relação x+3y=100+96w, obtemos
x = 100 + 96w - 3y = 100 + 96t - 3s.
E já tínhamos z = 54 + 52w, logo
z = 54 + 52t.
Assim todas as incógnitas são expressas em termos dos parâmetros s e t.

Passo 7

Resumo da família de soluções em forma vetorial (opcional, para visualização): a solução geral pode ser escrita como
(x,y,z,w) = (100 - 3s + 96t,\; s,\; 54 + 52t,\; t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

x = 100 - 3s + 96t
y = s
z = 54 + 52t
w = t
s,t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados