Há quatro equações; algumas podem ser linearmente dependentes entre si (ou seja, nem todas necessariamente independentes).
O objetivo é encontrar todas as soluções (x,y,z) que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Passo 2
Vou usar eliminação de Gauss (eliminação por linhas formando a matriz aumentada) com retro-substituição. Antes de começar, explico o que isso significa de forma prática e por que é útil:
é representado por uma matriz onde as colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o vetor dos termos constantes. Isso facilita aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra, multiplicar linha por escalar não-nulo) que preservam o conjunto de soluções.
Objetivo da eliminação de Gauss: transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (ou numa forma reduzida) para então obter os valores das incógnitas por retro-substituição. Se aparecerem linhas zeradas, indica dependência entre equações e possivelmente infinitas soluções (com variáveis livres).
Agora monto a matriz aumentada do sistema e começo as operações.
Passo 3
Matriz aumentada inicial (colunas: x,y,z e constantes):
É conveniente começar com uma linha que tenha 1 como pivô para simplificar cálculos. Vou trocar a primeira linha pela segunda (ou seja, trocar R_1 com R_2). Após a troca:
Eliminar os coeficientes abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_1 como pivô).
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:R_2: \; [3-3\cdot1,\; 3-3\cdot1,\; 12-3\cdot4,\; 6-3\cdot2] = [0,\;0,\;0,\;0].Ou seja, a segunda linha vira linha nula — isso indica que a segunda equação era múltiplo da primeira (dependência).
Observação didática: a linha nula confirma que a primeira e a segunda equações eram dependentes (precisamente, a primeira é 3 vezes a segunda). Além disso, as linhas 3 e 4 são iguais, então há redundância nelas também.]
Passo 5
Escolho a linha 3 como próximo pivô não nulo. Posso trocar R_2 e R_3 para manter a matriz em forma escalonada:
\begin{aligned} x &= 0,\\[4pt] y + 4z &= 2,\\[4pt] 0 &= 0 \quad(\text{linhas nulas não dão nova informação}). \end{aligned}ããçã
Temos duas equações efetivas para três incógnitas — portanto há uma variável livre. Convém tomar z como parâmetro livre. Defina z=t, onde t\in\mathbb{R}. Então da segunda equação:
y = 2 - 4z = 2 - 4t.
E da primeira equação:
x = 0.]
Passo 8
Escrevendo a solução em forma paramétrica e vetorial:
Forma paramétrica:x=0,\qquad y=2-4t,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Forma vetorial (se preferir):\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}0\\[4pt]-4\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Pequeno incentivo: percebeu como várias equações eram múltiplos umas das outras e isso levou a infinitas soluções com um parâmetro livre? Está ótimo — reconhecer dependências economiza muito trabalho em prova.]