EXERCISES
- Find the distance
, where
and
in homogeneous coordinates with respect to
.
- i. Prove that every pair of distinct lines in
has a common perpendicular. Only a slight modification of your proof of Theorem 4.10 is required.
ii. Find the common perpendicular to the lines
and
.
ii. Find the common perpendicular to the lines
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos, sem resolver nada ainda.
- Questão 1 pede: encontrar a distância
entre os pontos dados em coordenadas homogêneas relativas à base . - Questão 2 possui duas partes:
- (i) provar que todo par de retas distintas em
tem uma perpendicular comum; - (ii) aplicar isso e encontrar a perpendicular comum às retas
- (i) provar que todo par de retas distintas em
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As retas estão escritas por equações lineares homogêneas; cada reta corresponde ao vetor de coeficientes da equação.
- Os pontos estão dados por coordenadas homogêneas (vetores em
considerados até escala).
Passo 2
Entendendo e fixando o modelo usado para medir distância e perpendicularidade (aulas rápidas e intuitivas).
- Interpretação das coordenadas homogêneas: um ponto de
é uma reta através da origem em , representada por qualquer vetor não-nulo (duas representações que diferem por escalar representam o mesmo ponto). Aqui vou usar a identificação padrão: representar um ponto por um vetor coluna . - Produto interno padrão: vou usar o produto interno euclidiano usual em
, que é bilinear, simétrico e positivo-definido. - Distância entre pontos projetivos (modelo elíptico/sférico projetivo): a distância entre as retas (ou pontos projetivos) representadas por vetores
e é o ângulo entre esses vetores em . A fórmula é Explicação didática: se normalizarmos e para vetores unitários e , então , onde é o ângulo entre eles; como pontos são raios, esse ângulo é a medida natural da “distância” no modelo projetivo usado aqui. - Perpendicularidade de retas: uma reta
com equação corresponde ao vetor de coeficientes . O ponto (polo) associado a essa reta é exatamente o vetor (visto como ponto projetivo). Uma reta é perpendicular a quando o polo de é ortogonal ao polo de , isto é, se é o vetor-polo de então . Raciocínio prático: retas são funcionalmente formas lineares; identificar a forma linear com seu vetor de coeficientes permite tratar perpendicularidade por dot-product.
Essas escolhas são as usuais quando se trabalha com métricas derivadas do produto interno padrão em
. Agora aplico essas fórmulas aos dados.
Passo 3
Resolvendo a Questão 1 — calcular
passo a passo.
- Identifico os vetores que representam
e :
- Calculo os produtos internos necessários:
- Substituo na fórmula da distância:
- Avalio o valor conhecido:
(ou
). Portanto a distância entre
e
no modelo considerado é
.
Pequeno comentário pedagógico: se quiser praticar, pegue dois vetores quaisquer, calcule dot-product e normas e aplique a mesma fórmula — é sempre o mesmo mecanismo: distância = ângulo entre vetores.
Passo 4
Prova da Questão 2(i) — todo par de retas distintas em
tem uma perpendicular comum (prova linear-algébrica curta e limpa).
- Representação: seja
a reta com equação e a reta com equação . Denote e os vetores de coeficientes em . - Condição de serem retas distintas:
e não são múltiplos escalares (ou seja, são linearmente independentes). - Queremos uma reta
perpendicular a e a . Pelo que vimos, se for o vetor-polo de , então devemos ter Isto é um sistema homogêneo de duas equações lineares em três incógnitas . - Teorema de dimensões (álgebra linear): o espaço das soluções de duas equações lineares independentes em
tem dimensão . Como e são independentes, as duas equações são independentes, logo existe um subespaço de soluções unidimensional não-nulo; em particular existe que satisfaz as duas equações. Esse define o polo da reta , e portanto existe uma reta perpendicular a ambas. - Unicidade (até escala): a solução
é única até multiplicação por escalar, o que corresponde à única reta (coerente no espaço projetivo).
Conclusão: todo par de retas distintas possui exatamente uma perpendicular comum (no sentido projetivo), e a construção é: pegar os vetores de coeficientes
e resolver
.
Passo 5
Aplicando o método à Questão 2(ii) — encontrar a perpendicular comum às retas dadas.
- Identifico os vetores de coeficientes:
- Quero
tal que
- Resolvo o sistema:
- Da segunda equação obtemos
. - Da primeira obtemos
.
Logo
Escolhendo
para uma representação concreta, tomo
.
- A reta cujo vetor de coeficientes é
tem equação
Multiplicando por
para ficar com coeficiente positivo no primeiro termo, uma forma equivalente é
- Verificação rápida (sempre bom conferir): calcule
Logo
é ortogonal a
e a
, isto é, a reta definida por
é perpendicular a ambas as retas dadas. Portanto a perpendicular comum é a reta
(ou qualquer múltiplo).
Resposta
(2.i) Existe uma perpendicular comum a qualquer par de retas distintas (prova pelo sistema
).
(2.ii) A perpendicular comum é dada pela reta