EXERCISES

  1. Find the distance d(P, Q), where P=(-1,0,1) and Q=(1,1,0) in homogeneous coordinates with respect to \left\{\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{3}\right\}.
  2. i. Prove that every pair of distinct lines in \mathbf{P}^{2} has a common perpendicular. Only a slight modification of your proof of Theorem 4.10 is required.
    ii. Find the common perpendicular to the lines x_{1}+2 x_{2}=0 and 2 x_{2}-x_{3}=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos, sem resolver nada ainda.
  • Questão 1 pede: encontrar a distância d(P,Q) entre os pontos dados em coordenadas homogêneas P = (-1,0,1),\qquad Q = (1,1,0),relativas à base \{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\}.
  • Questão 2 possui duas partes:
    • (i) provar que todo par de retas distintas em \mathbf{P}^2 tem uma perpendicular comum;
    • (ii) aplicar isso e encontrar a perpendicular comum às retas x_{1}+2x_{2}=0 \qquad\text{e}\qquad 2x_{2}-x_{3}=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As retas estão escritas por equações lineares homogêneas; cada reta corresponde ao vetor de coeficientes da equação.
  • Os pontos estão dados por coordenadas homogêneas (vetores em \mathbb{R}^3 considerados até escala).

Passo 2

Entendendo e fixando o modelo usado para medir distância e perpendicularidade (aulas rápidas e intuitivas).
  • Interpretação das coordenadas homogêneas: um ponto de \mathbf{P}^2 é uma reta através da origem em \mathbb{R}^3, representada por qualquer vetor não-nulo p\in\mathbb{R}^3 (duas representações que diferem por escalar representam o mesmo ponto). Aqui vou usar a identificação padrão: representar um ponto por um vetor coluna p=(p_1,p_2,p_3).
  • Produto interno padrão: vou usar o produto interno euclidiano usual em \mathbb{R}^3, \langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,que é bilinear, simétrico e positivo-definido.
  • Distância entre pontos projetivos (modelo elíptico/sférico projetivo): a distância entre as retas (ou pontos projetivos) representadas por vetores p e q é o ângulo entre esses vetores em \mathbb{R}^3. A fórmula é d(P,Q)=\operatorname{arccos}\!\Bigg(\dfrac{\langle p,q\rangle}{\sqrt{\langle p,p\rangle\langle q,q\rangle}}\Bigg).Explicação didática: se normalizarmos p e q para vetores unitários \hat p e \hat q, então \langle\hat p,\hat q\rangle=\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles; como pontos são raios, esse ângulo é a medida natural da “distância” no modelo projetivo usado aqui.
  • Perpendicularidade de retas: uma reta L com equação a x_1+b x_2+c x_3=0 corresponde ao vetor de coeficientes u=(a,b,c). O ponto (polo) associado a essa reta é exatamente o vetor u (visto como ponto projetivo). Uma reta N é perpendicular a L quando o polo de N é ortogonal ao polo de L, isto é, se w é o vetor-polo de N então \langle w,u\rangle=0. Raciocínio prático: retas são funcionalmente formas lineares; identificar a forma linear com seu vetor de coeficientes permite tratar perpendicularidade por dot-product.
Essas escolhas são as usuais quando se trabalha com métricas derivadas do produto interno padrão em \mathbb{R}^3. Agora aplico essas fórmulas aos dados.

Passo 3

Resolvendo a Questão 1 — calcular d(P,Q) passo a passo.
  1. Identifico os vetores que representam P e Q:
p = (-1,0,1),\qquad q=(1,1,0).
  1. Calculo os produtos internos necessários:
\langle p,q\rangle = (-1)\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = -1.
\langle p,p\rangle = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1+0+1 = 2.
\langle q,q\rangle = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 1+1+0 = 2.
  1. Substituo na fórmula da distância:
d(P,Q)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\langle p,q\rangle}{\sqrt{\langle p,p\rangle\langle q,q\rangle}}\right) = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2\cdot 2}}\right) = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-1}{2}\right).
  1. Avalio o valor conhecido:
\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{2\pi}{3}
(ou 120^\circ). Portanto a distância entre P e Q no modelo considerado é \tfrac{2\pi}{3}.
Pequeno comentário pedagógico: se quiser praticar, pegue dois vetores quaisquer, calcule dot-product e normas e aplique a mesma fórmula — é sempre o mesmo mecanismo: distância = ângulo entre vetores.

Passo 4

Prova da Questão 2(i) — todo par de retas distintas em \mathbf{P}^2 tem uma perpendicular comum (prova linear-algébrica curta e limpa).
  • Representação: seja L a reta com equação u_1 x_1+u_2 x_2+u_3 x_3=0 e M a reta com equação v_1 x_1+v_2 x_2+v_3 x_3=0. Denote u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) os vetores de coeficientes em \mathbb{R}^3.
  • Condição de serem retas distintas: u e v não são múltiplos escalares (ou seja, são linearmente independentes).
  • Queremos uma reta N perpendicular a L e a M. Pelo que vimos, se w for o vetor-polo de N, então devemos ter \langle w,u\rangle = 0,\qquad \langle w,v\rangle = 0.Isto é um sistema homogêneo de duas equações lineares em três incógnitas w_1,w_2,w_3.
  • Teorema de dimensões (álgebra linear): o espaço das soluções de duas equações lineares independentes em \mathbb{R}^3 tem dimensão 3-2=1. Como u e v são independentes, as duas equações são independentes, logo existe um subespaço de soluções unidimensional não-nulo; em particular existe w\neq 0 que satisfaz as duas equações. Esse w define o polo da reta N, e portanto existe uma reta N perpendicular a ambas.
  • Unicidade (até escala): a solução w é única até multiplicação por escalar, o que corresponde à única reta N (coerente no espaço projetivo).
Conclusão: todo par de retas distintas possui exatamente uma perpendicular comum (no sentido projetivo), e a construção é: pegar os vetores de coeficientes u,v e resolver \langle w,u\rangle=\langle w,v\rangle=0.

Passo 5

Aplicando o método à Questão 2(ii) — encontrar a perpendicular comum às retas dadas.
  1. Identifico os vetores de coeficientes:
u=(1,2,0)\quad\text{(para }x_1+2x_2=0\text{)},\qquad v=(0,2,-1)\quad\text{(para }2x_2-x_3=0\text{)}.
  1. Quero w=(w_1,w_2,w_3) tal que
\langle w,u\rangle = w_1 + 2w_2 + 0\cdot w_3 = 0,
\langle w,v\rangle = 0\cdot w_1 + 2w_2 - w_3 = 0.
  1. Resolvo o sistema:
  • Da segunda equação obtemos w_3 = 2w_2.
  • Da primeira obtemos w_1 = -2w_2.
Logo
w = (w_1,w_2,w_3) = (-2w_2,\,w_2,\,2w_2) = w_2\cdot(-2,1,2).
Escolhendo w_2=1 para uma representação concreta, tomo w=(-2,1,2).
  1. A reta cujo vetor de coeficientes é w tem equação
-2x_1 + x_2 + 2x_3 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo no primeiro termo, uma forma equivalente é
2x_1 - x_2 - 2x_3 = 0.
  1. Verificação rápida (sempre bom conferir): calcule
\langle w,u\rangle = (-2)\cdot 1 + 1\cdot 2 + 2\cdot 0 = -2+2+0 = 0,
\langle w,v\rangle = (-2)\cdot 0 + 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) = 0.
Logo w é ortogonal a u e a v, isto é, a reta definida por w é perpendicular a ambas as retas dadas. Portanto a perpendicular comum é a reta 2x_1-x_2-2x_3=0 (ou qualquer múltiplo).

Resposta

d(P,Q)=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{2\pi}{3}.
(2.i) Existe uma perpendicular comum a qualquer par de retas distintas (prova pelo sistema \langle w,u\rangle=\langle w,v\rangle=0).
(2.ii) A perpendicular comum é dada pela reta
2x_{1}-x_{2}-2x_{3}=0.

Exercícios relacionados