Seja f(x)=\cos (x). Calcule f(x) e sua incerteza of para x=(1,7 \pm 0,3) em graus.
Escreva na forma: (1,5+-0,5), sem espaços. Use vírgula como separador decimal. Caso seja necessário usar notação científica, para escrever (1,5+-0,5) \times 10^{2} \mathrm{~ms}, digite (1,5+-0,5) \times 10(2) \mathrm{ms}.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule f(x)=\cos(x) e a incerteza em f quando x=(1,7\pm0,3)^\circ. Dados fornecidos:
Valor central: x=1,7^\circ.
Incerteza em x: \Delta x=0,3^\circ.
Passo 2
Motivação e conversa curta sobre unidades: a função trigonométrica \cos em cálculo e suas derivadas são definidas para o argumento em radianos. Portanto é necessário converter x e \Delta x de graus para radianos antes de aplicar fórmulas de propagação de incerteza.
(Os números acima vieram da multiplicação direta pelos fatores \dfrac{\pi}{180}.)
Passo 3
Calcular o valor central f(x)=\cos(x) usando x em radianos. Para ângulos pequenos pode-se usar a expansão em série de Taylor; aqui usamos os termos necessários para boa precisão:
Portanto o valor central é aproximadamente \,0,9995598973.
Explicação rápida: usar a série é útil porque para ângulos pequenos a soma dos dois primeiros termos já dá ótima aproximação; o termo em x^4 aqui é muito pequeno, mas incluímos para garantir precisão suficiente.
Passo 4
Regra de propagação de incerteza (explicada): se y=f(x) e a incerteza em x é pequena, a incerteza em y pode ser aproximada por
\Delta y \approx \left|\frac{df}{dx}\right|\Delta x.
Isto vem da aproximação linear f(x+\delta x)\approx f(x)+f'(x)\delta x. No nosso caso f(x)=\cos(x), então
\frac{df}{dx}=-\sin(x).
Logo
\Delta f \approx |\sin(x)|\,\Delta x.
Lembre-se: aqui \Delta x deve estar em radianos (por isso fizemos a conversão).
Passo 5
Calcular \sin(x_{\text{rad}}). Para ângulo pequeno usamos a série:
\Delta f \approx |\sin(x_{\text{rad}})|\cdot\Delta x_{\text{rad}} =0,0296662603\cdot0,00523598776\approx0,0001553322\dots
Passo 6
Arredondamento e apresentação final: convém apresentar a incerteza com uma ou duas cifras significativas. Aqui \Delta f\approx0,0001553. Tomando duas cifras significativas obtemos \Delta f\approx0,00016. Ao arredondar o valor central para a mesma casa decimal da incerteza (a casa 10^{-4}):
f(x)\approx0,99956,\qquad \Delta f\approx0,00016.
Formatando na forma pedida, sem espaços e com vírgula decimal: (0,99956+-0,00016).