Seja f(x)=\cos (x). Calcule f(x) e sua incerteza of para x=(1,7 \pm 0,3) em graus.
Escreva na forma: (1,5+-0,5), sem espaços. Use vírgula como separador decimal. Caso seja necessário usar notação científica, para escrever (1,5+-0,5) \times 10^{2} \mathrm{~ms}, digite (1,5+-0,5) \times 10(2) \mathrm{ms}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule f(x)=\cos(x) e a incerteza em f quando x=(1,7\pm0,3)^\circ. Dados fornecidos:
  • Valor central: x=1,7^\circ.
  • Incerteza em x: \Delta x=0,3^\circ.

Passo 2

Motivação e conversa curta sobre unidades: a função trigonométrica \cos em cálculo e suas derivadas são definidas para o argumento em radianos. Portanto é necessário converter x e \Delta x de graus para radianos antes de aplicar fórmulas de propagação de incerteza.
Regra de conversão:
1^\circ=\frac{\pi}{180}\\ \text{rad}.
Convertemos x e \Delta x:
x_{\text{rad}}=1,7^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=0,0296705973\\ \text{rad},
\Delta x_{\text{rad}}=0,3^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=0,00523598776\\ \text{rad}.
(Os números acima vieram da multiplicação direta pelos fatores \dfrac{\pi}{180}.)

Passo 3

Calcular o valor central f(x)=\cos(x) usando x em radianos. Para ângulos pequenos pode-se usar a expansão em série de Taylor; aqui usamos os termos necessários para boa precisão:
\cos(x)\approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}.
Agora substituímos x_{\text{rad}}=0,0296705973:
x_{\text{rad}}^2=0,000880270\dots
\frac{x_{\text{rad}}^2}{2}=0,000440135\dots
x_{\text{rad}}^4\approx 7,747\times10^{-7}\quad\Rightarrow\quad\frac{x_{\text{rad}}^4}{24}\approx 0,00000003228\dots
\cos(x_{\text{rad}})\approx 1-0,000440135+0,00000003228=0,9995598973\dots
Portanto o valor central é aproximadamente \,0,9995598973.
Explicação rápida: usar a série é útil porque para ângulos pequenos a soma dos dois primeiros termos já dá ótima aproximação; o termo em x^4 aqui é muito pequeno, mas incluímos para garantir precisão suficiente.

Passo 4

Regra de propagação de incerteza (explicada): se y=f(x) e a incerteza em x é pequena, a incerteza em y pode ser aproximada por
\Delta y \approx \left|\frac{df}{dx}\right|\Delta x.
Isto vem da aproximação linear f(x+\delta x)\approx f(x)+f'(x)\delta x. No nosso caso f(x)=\cos(x), então
\frac{df}{dx}=-\sin(x).
Logo
\Delta f \approx |\sin(x)|\,\Delta x.
Lembre-se: aqui \Delta x deve estar em radianos (por isso fizemos a conversão).

Passo 5

Calcular \sin(x_{\text{rad}}). Para ângulo pequeno usamos a série:
\sin(x)\approx x-\frac{x^3}{6}.
Com x_{\text{rad}}=0,0296705973 obtemos
x_{\text{rad}}^3\approx 2,602\times10^{-5}\quad\Rightarrow\quad\frac{x_{\text{rad}}^3}{6}\approx 0,000004337\dots
\sin(x_{\text{rad}})\approx 0,0296705973-0,000004337=0,0296662603\dots
Agora calculamos a incerteza em f:
\Delta f \approx |\sin(x_{\text{rad}})|\cdot\Delta x_{\text{rad}} =0,0296662603\cdot0,00523598776\approx0,0001553322\dots

Passo 6

Arredondamento e apresentação final: convém apresentar a incerteza com uma ou duas cifras significativas. Aqui \Delta f\approx0,0001553. Tomando duas cifras significativas obtemos \Delta f\approx0,00016. Ao arredondar o valor central para a mesma casa decimal da incerteza (a casa 10^{-4}):
f(x)\approx0,99956,\qquad \Delta f\approx0,00016.
Formatando na forma pedida, sem espaços e com vírgula decimal: (0,99956+-0,00016).

Resposta

(0,99956±0,00016)

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