Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=|z|, C=z=r e^i theta:-pi / 2 <= theta <= pi.

Passo 1

Estamos calculando a integral de linha de f(z)=|z| ao longo do arco de círculo C de raio r, com θ variando de -π/2 até π. O conteúdo aqui é integral de linha em variável complexa e vamos precisar usar a parametrização do caminho.

Passo 2

Parametrizamos C por z(θ)=r e^{iθ}, onde -π/2≤θ≤π. Então dz=dθ·
dz = i,r,e^iθ,dθ
E como |z|=r ao longo de C, temos f(z(θ))=r.

Passo 3

Substituímos na integral:
integralC f(z),dz = integral-pi/2^pi r cdot (i,r,e^iθ),dθ = i,r^2 integral-pi/2^pi e^iθ,dθ

Passo 4

Calculamos a integral de e^{iθ}:
integral e^iθ,dθ = e^iθi

Passo 5

Avaliando de θ=-π/2 até θ=π e simplificando:
i,r^2 cdot 1i l(e^iπ-e^-iπ/2r) = r^2l(-1 -(-i)r) = r^2(i-1)

Resposta

r^2,(i-1)

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