Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=z^2, C=z=r e^i theta: 0 <= theta <= pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de f(z)=z^2 ao longo de um arco semicircular C de raio r, definido por z=r e^itheta, 0<=theta<=pi. Vamos usar parametrização de contorno e integração de funções complexas.

Passo 2

Parametrizamos o contorno por z(theta)=r e^itheta. Assim, o diferencial é
dz = i r e^itheta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral de linha temos
integralC z^2,dz = integral0^pi l(r e^ithetar)^2 l(i r e^ithetar) ,dtheta = i r^3 integral0^pi e^i3theta ,dtheta

Passo 4

Calculamos a integral de e^i3theta:
integral0^pi e^i3theta ,dtheta = [e^i3thetai3]0^pi = e^i3pi-1i3

Passo 5

Agora substituímos de volta em integralC:
integralC z^2,dz = i r^3 cdot e^i3pi-1i3 = r^33l(e^i3pi-1r)

Passo 6

Como e^i3pi=cos(3pi)+isin(3pi)=-1, concluímos que
integralC z^2,dz = r^33(-1-1) = -2r^33

Resposta

-\nfrac{2r^3}{3}

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