Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=raizz, C=z=r e^i theta: 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha de f(z)=raizz ao longo do contorno C:z=r e^itheta:0<=theta<=2pi, usando o ramo principal de raizz. Vamos precisar parametrizar a curva, cuidar do corte de ramo em arg z=pi e usar integração de exponenciais.

Passo 2

Parametrizamos C por z(theta)=r e^itheta com 0<=theta<=2pi. Então
[
z= r e^{i\theta},\quad dz = i r e^{i\theta},d\theta
]

Passo 3

Como o ramo principal de raizz tem corte em arg z=pi, usamos duas fórmulas: para 0<=theta temos raizz=raizr,e^itheta/2, e para pi o argumento salta de theta para theta-2pi, dando raizz=raizr,e^i(theta-2pi)/2=-raizr,e^itheta/2.
Assim a integral separa-se em duas partes:
[
\int_C\sqrt{z},dz=\int_{0}{\pi}\sqrt{r}e{i\theta/2}\bigl(i r e{i\theta}\bigr)d\theta+\int_{\pi}{2\pi}(-\sqrt{r}e^{i\theta/2})\bigl(i r e^{i\theta}\bigr)d\theta
]

Passo 4

Em cada parte nota-se um fator comum i r^3/2 e uma exponencial e^i3theta/2. Calculando
[
\int_{0}{\pi}e{i3\theta/2}d\theta=\frac{2}{3i}\bigl(e^{i3\pi/2}-1\bigr)= -\tfrac{2}{3}(1-i),
]
[
\int_{\pi}{2\pi}e{i3\theta/2}d\theta=\frac{2}{3i}\bigl(e{i3\pi}-e{i3\pi/2}\bigr)= \tfrac{2}{3}(1+i).
]
Substituindo e combinando
[
\int_C\sqrt{z},dz=i r{3/2}\Bigl[-\tfrac{2}{3}(1-i)-\tfrac{2}{3}(1+i)\Bigr]=-\tfrac{4}{3}i,r{3/2}.
]

Resposta

-\tfrac{4}{3}i,r^{3/2}

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