Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de
ao longo do contorno
, onde
e
são especificados em cada caso.
.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de linha de
ao longo do contorno
, usando o ramo principal de
. Vamos precisar parametrizar a curva, cuidar do corte de ramo em
e usar integração de exponenciais.
Passo 2
Parametrizamos
por
com
. Então
[
z= r e^{i\theta},\quad dz = i r e^{i\theta},d\theta
]
[
z= r e^{i\theta},\quad dz = i r e^{i\theta},d\theta
]
Passo 3
Como o ramo principal de
tem corte em
, usamos duas fórmulas: para
temos
, e para
o argumento salta de
para
, dando
.
Assim a integral separa-se em duas partes:
[
\int_C\sqrt{z},dz=\int_{0}{\pi}\sqrt{r}e{i\theta/2}\bigl(i r e{i\theta}\bigr)d\theta+\int_{\pi}{2\pi}(-\sqrt{r}e^{i\theta/2})\bigl(i r e^{i\theta}\bigr)d\theta
]
Assim a integral separa-se em duas partes:
[
\int_C\sqrt{z},dz=\int_{0}{\pi}\sqrt{r}e{i\theta/2}\bigl(i r e{i\theta}\bigr)d\theta+\int_{\pi}{2\pi}(-\sqrt{r}e^{i\theta/2})\bigl(i r e^{i\theta}\bigr)d\theta
]
Passo 4
Em cada parte nota-se um fator comum
e uma exponencial
. Calculando
[
\int_{0}{\pi}e{i3\theta/2}d\theta=\frac{2}{3i}\bigl(e^{i3\pi/2}-1\bigr)= -\tfrac{2}{3}(1-i),
]
[
\int_{\pi}{2\pi}e{i3\theta/2}d\theta=\frac{2}{3i}\bigl(e{i3\pi}-e{i3\pi/2}\bigr)= \tfrac{2}{3}(1+i).
]
Substituindo e combinando
[
\int_C\sqrt{z},dz=i r{3/2}\Bigl[-\tfrac{2}{3}(1-i)-\tfrac{2}{3}(1+i)\Bigr]=-\tfrac{4}{3}i,r{3/2}.
]
[
\int_{0}{\pi}e{i3\theta/2}d\theta=\frac{2}{3i}\bigl(e^{i3\pi/2}-1\bigr)= -\tfrac{2}{3}(1-i),
]
[
\int_{\pi}{2\pi}e{i3\theta/2}d\theta=\frac{2}{3i}\bigl(e{i3\pi}-e{i3\pi/2}\bigr)= \tfrac{2}{3}(1+i).
]
Substituindo e combinando
[
\int_C\sqrt{z},dz=i r{3/2}\Bigl[-\tfrac{2}{3}(1-i)-\tfrac{2}{3}(1+i)\Bigr]=-\tfrac{4}{3}i,r{3/2}.
]
Resposta
-\tfrac{4}{3}i,r^{3/2}