Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=2 x-y+i x^2, ao longo do segmento retilineo de zero a 1+i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC f(z),dz onde f(z)=2x - y + i x^2 e C é o segmento de reta de 0 a 1+i. O conteúdo envolve integrais de linha de funções complexas, e vamos precisar usar parametrização do contorno e a fórmula integralC f(z),dz = integrala^b f(z(t)),z'(t),dt.

Passo 2

Para parametrizar o segmento de reta de 0 a 1+i, escolhemos tin[0,1] e definimos
z(t)=t(1+i), x(t)=Re(z(t))=t, y(t)=Im(z(t))=t, dz= z'(t),dt=(1+i),dt

Passo 3

Substituímos na função:
f(z(t))=2x(t)-y(t)+il(x(t)r)^2=2t - t + i t^2 = t + i t^2

Passo 4

Agora montamos a integral:
integralC f(z),dz = integral0^1 l(t + i t^2r),(1+i),dt = (1+i) integral0^1 l(t + i t^2r) dt

Passo 5

Calculamos os integrais em t:
integral0^1 t,dt=tfrac12, integral0^1 t^2,dt=tfrac13

Passo 6

Logo,
integralC f(z),dz = (1+i)l(tfrac12 + itfrac13r)

Passo 7

Fazendo a multiplicação:
(1+i)l(tfrac12 + itfrac13r)=underbracel(tfrac12 - tfrac13r)tfrac16 + iunderbracel(tfrac12 + tfrac13r)tfrac56 = tfrac16 + itfrac56

Resposta

integralC f(z),dz = tfrac16 + itfrac56.

Exercícios relacionados