Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=z^2, C=z=r e^i theta ;-pi <= theta <= pi.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha ointC z^2,dz, onde C é o contorno dado por z=r e^itheta, com -pi<=theta<=pi. O conteúdo envolve integrais de contorno em funções analíticas e podemos usar parametrização ou o teorema de Cauchy.

Passo 2

Parametrizamos o contorno: z(theta)=r e^itheta e, portanto, dz=i r e^ithetadtheta. Substituindo na integral, temos:
ointC z^2,dz=integral-pi^pi(r e^itheta)^2cdot i r e^ithetadtheta =i r^3integral-pi^pie^3ithetadtheta

Passo 3

Calculamos a integral:
i r^3integral-pi^pie^3ithetadtheta =i r^3[e^3itheta3i]-pi^pi=r^33l(e^3ipi-e^-3ipir)=r^33(-1-(-1))=0

Passo 4

Como esperávamos (função inteira), a integral de contorno é zero pelo próprio cálculo ou pelo teorema de Cauchy.

Resposta

0

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