Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que o rotacional do gradiente de uma função
, ou seja,
, é igual a zero. Isso está ligado aos conceitos de cálculo vetorial, especificamente aos operadores gradiente (
) e rotacional (
). Para resolver isso, precisamos lembrar das definições desses operadores e aplicar as regras de cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Passo 3
Agora, queremos calcular o rotacional desse gradiente. O rotacional de um vetor
é dado por:
No nosso caso,
, então substituímos:
Passo 4
Observe que em cada componente do rotacional, temos a diferença de derivadas parciais mistas. Por exemplo,
é igual a
. Da mesma forma,
, e assim por diante para as outras componentes.
Passo 5
Pelo teorema de Clairaut, se todas as derivadas de segunda ordem são contínuas, então as derivadas parciais mistas são iguais, ou seja:
E o mesmo vale para as outras combinações de derivadas.
Passo 6
Voltando ao nosso rotacional, substituímos as derivadas mistas iguais:
Resposta
Portanto, provamos que o rotacional do gradiente de
é zero: