Sejam k uma constante e F=F(x, y, z), G=G(x, y, z) e phi=phi(x, y, z). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
rot(nabla phi)=0

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que o rotacional do gradiente de uma função phi, ou seja, rot(nabla phi), é igual a zero. Isso está ligado aos conceitos de cálculo vetorial, especificamente aos operadores gradiente ( nabla) e rotacional ( rot). Para resolver isso, precisamos lembrar das definições desses operadores e aplicar as regras de cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função escalar phi(x, y, z). O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z )

Passo 3

Agora, queremos calcular o rotacional desse gradiente. O rotacional de um vetor A = (Ax, Ay, Az) é dado por:
rot A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z, partial Axpartial z - partial Azpartial x, partial Aypartial x - partial Axpartial y )
No nosso caso, A = nabla phi, então substituímos:
rot(nabla phi) = ( partialpartial y( partial phipartial z ) - partialpartial z( partial phipartial y ), partialpartial z( partial phipartial x ) - partialpartial x( partial phipartial z ), partialpartial x( partial phipartial y ) - partialpartial y( partial phipartial x ) )

Passo 4

Observe que em cada componente do rotacional, temos a diferença de derivadas parciais mistas. Por exemplo, partialpartial y( partial phipartial z ) é igual a partial^2 phipartial y partial z. Da mesma forma, partialpartial z( partial phipartial y ) = partial^2 phipartial z partial y, e assim por diante para as outras componentes.

Passo 5

Pelo teorema de Clairaut, se todas as derivadas de segunda ordem são contínuas, então as derivadas parciais mistas são iguais, ou seja:
partial^2 phipartial y partial z = partial^2 phipartial z partial y
E o mesmo vale para as outras combinações de derivadas.

Passo 6

Voltando ao nosso rotacional, substituímos as derivadas mistas iguais:
rot(nabla phi) = ( partial^2 phipartial y partial z - partial^2 phipartial z partial y, partial^2 phipartial z partial x - partial^2 phipartial x partial z, partial^2 phipartial x partial y - partial^2 phipartial y partial x ) = (0, 0, 0)

Resposta

Portanto, provamos que o rotacional do gradiente de phi é zero:
rot(nabla phi) = 0

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