Sejam k uma constante e F=F(x, y, z), G=G(x, y, z) e phi=phi(x, y, z). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
div(rot F)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me mandou pra resolver é uma identidade envolvendo cálculo vetorial. Especificamente, a gente precisa provar que a divergência do rotacional de um campo vetorial F é sempre zero, ou seja:
div(rot F) = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são divergência ( div) e rotacional ( rot) de um campo vetorial. Esses são conceitos fundamentais em cálculo vetorial usados para descrever como um campo se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz). O rotacional mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto e é dado por:
rot F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Agora, a divergência de um campo vetorial G = (Gx, Gy, Gz) mede a “taxa de expansão” ou “compressão” do campo e é dada por:
div G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z

Passo 3

Vamos aplicar a divergência ao rotacional de F. Primeiro, calculamos o rotacional:
rot F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Agora, aplicamos a divergência a esse resultado:
div(rot F) = partialpartial x( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) + partialpartial y( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) + partialpartial z( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )

Passo 4

Vamos simplificar cada termo da expressão acima:
  1. Primeiro termo:
partialpartial x( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) = partial^2 Fzpartial x partial y - partial^2 Fypartial x partial z
  1. Segundo termo:
partialpartial y( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) = partial^2 Fxpartial y partial z - partial^2 Fzpartial y partial x
  1. Terceiro termo:
partialpartial z( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) = partial^2 Fypartial z partial x - partial^2 Fxpartial z partial y

Passo 5

Agora, somamos todos esses termos:
div(rot F) = ( partial^2 Fzpartial x partial y - partial^2 Fypartial x partial z ) + ( partial^2 Fxpartial y partial z - partial^2 Fzpartial y partial x ) + ( partial^2 Fypartial z partial x - partial^2 Fxpartial z partial y )

Passo 6

Observamos que, para funções que têm derivadas parciais contínuas (como o enunciado assume), a ordem das derivadas pode ser trocada. Ou seja:
partial^2 Fzpartial x partial y = partial^2 Fzpartial y partial x
Aplicando isso a todos os termos:
div(rot F) = ( partial^2 Fzpartial y partial x - partial^2 Fypartial z partial x ) + ( partial^2 Fxpartial z partial y - partial^2 Fzpartial x partial y ) + ( partial^2 Fypartial x partial z - partial^2 Fxpartial y partial z )

Passo 7

Agora, vamos ver como os termos se cancelam:
  • partial^2 Fzpartial y partial x cancela com -partial^2 Fzpartial x partial y
  • -partial^2 Fypartial z partial x cancela com partial^2 Fypartial x partial z
  • partial^2 Fxpartial z partial y cancela com -partial^2 Fxpartial y partial z
Ou seja, tudo se anula!

Resposta

Portanto, concluímos que:
div(rot F) = 0

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