Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me mandou pra resolver é uma identidade envolvendo cálculo vetorial. Especificamente, a gente precisa provar que a divergência do rotacional de um campo vetorial
é sempre zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são divergência (
) e rotacional (
) de um campo vetorial. Esses são conceitos fundamentais em cálculo vetorial usados para descrever como um campo se comporta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial
. O rotacional mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto e é dado por:
Agora, a divergência de um campo vetorial
mede a “taxa de expansão” ou “compressão” do campo e é dada por:
Passo 3
Vamos aplicar a divergência ao rotacional de
. Primeiro, calculamos o rotacional:
Agora, aplicamos a divergência a esse resultado:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo da expressão acima:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 5
Agora, somamos todos esses termos:
Passo 6
Observamos que, para funções que têm derivadas parciais contínuas (como o enunciado assume), a ordem das derivadas pode ser trocada. Ou seja:
Aplicando isso a todos os termos:
Passo 7
Agora, vamos ver como os termos se cancelam:
-
cancela com -
cancela com -
cancela com
Ou seja, tudo se anula!
Resposta
Portanto, concluímos que: