Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a divergência do produto de uma função escalar
por um campo vetorial
satisfaz a regra do produto, ou seja,
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de divergência de um campo vetorial. Para
temos
Passo 3
Em seguida, escrevemos
e aplicamos a definição:
Passo 4
Agora usamos a regra do produto para derivada parcial em cada termo. Por exemplo,
e analogamente para os outros componentes. Somando, obtemos
Passo 5
Portanto chegamos ao resultado desejado.