Sejam k uma constante e F=F(x, y, z), G=G(x, y, z) e phi=phi(x, y, z). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
div(phi F)=phi div F+nabla phi cdot F

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a divergência do produto de uma função escalar phi(x,y,z) por um campo vetorial F(x,y,z)=(F1,F2,F3) satisfaz a regra do produto, ou seja,

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de divergência de um campo vetorial. Para H=(H1,H2,H3) temos
divH = partial H1partial x + partial H2partial y + partial H3partial z

Passo 3

Em seguida, escrevemos phiF=(phi F1,phi F2,phi F3) e aplicamos a definição:
div(phiF) = partial (phi F1)partial x + partial (phi F2)partial y + partial (phi F3)partial z

Passo 4

Agora usamos a regra do produto para derivada parcial em cada termo. Por exemplo,
partial (phi F1)partial x = partial phipartial xF1 + phipartial F1partial x,
e analogamente para os outros componentes. Somando, obtemos
div(phiF) = l(nablaphicdotFr) + phil(divFr)

Passo 5

Portanto chegamos ao resultado desejado.

Resposta

div(phi F) = phi,divF + nablaphi cdot F.

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