Exercs. 11-14: Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de cálculo onde precisamos encontrar a derivada de $ w $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dw}{dt} $. O enunciado nos dá as seguintes relações:
Vamos usar o conceito de derivada composta, também conhecido como regra da cadeia, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ w $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. Então, para encontrar $ \frac{dw}{dt} $, precisamos derivar $ w $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois multiplicar pelas derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $ e $ y $:
Aqui, usamos a regra da potência para derivar $ x^{3} $ e $ y^{3} $.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Para $ x $, aplicamos a regra do quociente, e para $ y $, simplificamos o resultado.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dw}{dt} $:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ x $ e $ y $ pelas suas expressões em termos de $ t $:
Substituindo na expressão de $ \frac{dw}{dt} $:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Fatorando o denominador, que é comum nas duas frações.
Resposta
A derivada de $ w $ em relação a $ t $ é: