Exercs. 11-14: Calcule d w / d t.
w=x^3-y^3 ; x=1t+1, y=tt+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de cálculo onde precisamos encontrar a derivada de $ w $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dw}{dt} $. O enunciado nos dá as seguintes relações:
w
Vamos usar o conceito de derivada composta, também conhecido como regra da cadeia, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ w $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. Então, para encontrar $ \frac{dw}{dt} $, precisamos derivar $ w $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois multiplicar pelas derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $ e $ y $:
w
Aqui, usamos a regra da potência para derivar $ x^{3} $ e $ y^{3} $.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
x
y
Para $ x $, aplicamos a regra do quociente, e para $ y $, simplificamos o resultado.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar $ \frac{dw}{dt} $:
dwdt
Substituindo as derivadas que encontramos:
dwdt = partial wpartial x cdot dxdt + partial wpartial y cdot dydt

Passo 6

Agora, vamos substituir $ x $ e $ y $ pelas suas expressões em termos de $ t $:
x
y
Substituindo na expressão de $ \frac{dw}{dt} $:
t

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
dwdt = -3(t+1)^4 - 3t^2(t+1)^4 = -3(1 + t^2)(t+1)^4
Fatorando o denominador, que é comum nas duas frações.

Resposta

A derivada de $ w $ em relação a $ t $ é:
w

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