Si
, comprobar que
es solución general.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me passou envolve equações diferenciais, especificamente uma equação de primeira ordem. O enunciado pede para comprovar que $ e^{-y} - Cx = 1 $ é a solução geral da equação $ x y’ + 1 = e^{y} $. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação diferencial e aplicar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Nosso objetivo é isolar
para conseguir integrar depois. Então, subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por $ x $ para deixar
sozinho:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para conseguir integrar. Isso significa que queremos todos os termos com $ y $ de um lado e os com $ x $ do outro lado. Podemos reescrever a equação assim:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a $ y $ e o lado direito em relação a $ x $:
A integral do lado direito é mais simples:
Agora, vamos focar na integral do lado esquerdo. Para integrar
, podemos fazer uma substituição:
Seja $ u = e^{y} $, então $ du = e^{y} dy $, ou seja, $ dy = \frac{du}{u} $.
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Podemos remover os logaritmos aplicando a exponenciação em ambos os lados:
Rearranjando para isolar $ e^{-y} $:
Passo 6
Finalmente, reescrevemos a equação para deixar claro que $ e^{-y} - Cx = 1 $ é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ x y’ + 1 = e^{y} $ é $ e^{-y} - Cx = 1 $.