Si x y^prime+1=e^y, comprobar que e^-y-C x=1 es solución general.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me passou envolve equações diferenciais, especificamente uma equação de primeira ordem. O enunciado pede para comprovar que $ e^{-y} - Cx = 1 $ é a solução geral da equação $ x y’ + 1 = e^{y} $. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação diferencial e aplicar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
x dydx + 1 = e^y
Nosso objetivo é isolar dydx para conseguir integrar depois. Então, subtraímos 1 de ambos os lados:
x dydx = e^y - 1
Agora, dividimos ambos os lados por $ x $ para deixar x sozinho:
dydx

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para conseguir integrar. Isso significa que queremos todos os termos com $ y $ de um lado e os com $ x $ do outro lado. Podemos reescrever a equação assim:
y

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a $ y $ e o lado direito em relação a $ x $:
y
A integral do lado direito é mais simples:
x
Agora, vamos focar na integral do lado esquerdo. Para integrar integral 1e^y - 1 , dy = integral 1x , dx , podemos fazer uma substituição:
Seja $ u = e^{y} $, então $ du = e^{y} dy $, ou seja, $ dy = \frac{du}{u} $.
Substituindo na integral:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Simplificando a expressão:
1e^y - 1

Passo 5

Igualando as integrais dos dois lados, temos:
ln(1 - e^-y) = ln|x| + C
Podemos remover os logaritmos aplicando a exponenciação em ambos os lados:
1 - e^-y = Cx
Rearranjando para isolar $ e^{-y} $:
e^-y

Passo 6

Finalmente, reescrevemos a equação para deixar claro que $ e^{-y} - Cx = 1 $ é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ x y’ + 1 = e^{y} $ é $ e^{-y} - Cx = 1 $.

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