Si y^prime=y^2-1, demostrar
y=1+C e^2 x1-C e^2 x es solución general.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $. O objetivo aqui é mostrar que a expressão $ y = \frac{1 + C e^{2x}}{1 - C e^{2x}} $ é a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais separáveis, onde a gente consegue separar as variáveis $ y $ e $ x $ para integrar e achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. Temos:
dydx = y^2 - 1
Podemos reescrever isso como:
dyy^2 - 1 = dx
Aqui, separamos $ y $ e $ x $ de lados opostos da equação.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que podemos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)
Então, expressamos a fração como:
1y^2 - 1 = 12( 1y - 1 + 1y + 1 )

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados:
integral 12( 1y - 1 + 1y + 1 ) dy = integral dx
Isso resulta em:
12 ln|y - 1| - 12 ln|y + 1| = x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln| y - 1y + 1 | = 2x + K
Onde $ K = 2C $ (a constante ainda é arbitrária, então podemos renomeá-la).

Passo 6

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo, obtemos:
y - 1y + 1 = e^2x + K = C e^2x
Aqui, $ C = e^{K} $ ainda é uma constante arbitrária.

Passo 7

Agora, resolvemos para $ y $:
Multiplicando ambos os lados por $ y + 1 $:
y
Distribuindo o $ C e^{2x} $:
y + 1

Passo 8

Trabalhando os termos com $ y $ de um lado:
y
Fatorando $ y $:
y - C e^2x y = 1 + C e^2x

Passo 9

Finalmente, isolamos $ y $:
y

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $ é:
y' = y^2 - 1
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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