Si
, demostrar
es solución general.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $. O objetivo aqui é mostrar que a expressão $ y = \frac{1 + C e^{2x}}{1 - C e^{2x}} $ é a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais separáveis, onde a gente consegue separar as variáveis $ y $ e $ x $ para integrar e achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, separamos $ y $ e $ x $ de lados opostos da equação.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que podemos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, expressamos a fração como:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Onde $ K = 2C $ (a constante ainda é arbitrária, então podemos renomeá-la).
Passo 6
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo, obtemos:
Aqui, $ C = e^{K} $ ainda é uma constante arbitrária.
Passo 7
Agora, resolvemos para $ y $:
Multiplicando ambos os lados por $ y + 1 $:
Distribuindo o $ C e^{2x} $:
Passo 8
Trabalhando os termos com $ y $ de um lado:
Fatorando $ y $:
Passo 9
Finalmente, isolamos $ y $:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial $ y’ = y^2 - 1 $ é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.