Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=3 z^2z+2 i e C é o círculo |z|=3 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a integral da função ao longo do contorno , que é o círculo , é nula. Vamos usar conceitos de Análise Complexa, especificamente o Teorema de Cauchy, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Cauchy: se uma função é analítica (ou seja, diferenciável complexamente) em toda a região dentro e sobre um contorno fechado, então a integral dessa função ao redor desse contorno é igual a zero. Em outras palavras, se não houver singularidades (pontos onde a função não é bem definida) dentro do contorno, a integral será nula.

Passo 3

Agora, vamos identificar as singularidades da função . Olhando para o denominador de , percebemos que a função não está definida quando , ou seja, em .

Passo 4

Precisamos verificar se essa singularidade está dentro do contorno | -2i | = 2 . O contorno é o círculo , que tem raio . Calculando a magnitude de :
Como , a singularidade está fora do contorno .

Passo 5

Já que não há singularidades da função dentro do contorno , segundo o Teorema de Cauchy, a integral de ao redor de é igual a zero.

Resposta

A integral da função ointC 3 z^2z + 2i , dz = 0 ao longo do contorno é nula, ou seja:

Exercícios relacionados