Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos
dados. Observe que a orientação de
é irrelevante.
e
é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a integral da função
ao longo do contorno
, que é o círculo
, é nula. Vamos usar conceitos de Análise Complexa, especificamente o Teorema de Cauchy, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Cauchy: se uma função é analítica (ou seja, diferenciável complexamente) em toda a região dentro e sobre um contorno fechado, então a integral dessa função ao redor desse contorno é igual a zero. Em outras palavras, se não houver singularidades (pontos onde a função não é bem definida) dentro do contorno, a integral será nula.
Passo 3
Agora, vamos identificar as singularidades da função
. Olhando para o denominador de
, percebemos que a função não está definida quando
, ou seja, em
.
Passo 4
Precisamos verificar se essa singularidade está dentro do contorno
. O contorno é o círculo
, que tem raio
. Calculando a magnitude de
:
Como
, a singularidade
está fora do contorno
.
Passo 5
Já que não há singularidades da função
dentro do contorno
, segundo o Teorema de Cauchy, a integral de
ao redor de
é igual a zero.
Resposta
A integral da função
ao longo do contorno
é nula, ou seja: