Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos
dados. Observe que a orientação de
é irrelevante.
e
é o círculo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a integral da função
sobre o contorno
, que é o círculo de raio 2 no plano complexo (
), é igual a zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Complexo, especificamente o Teorema de Cauchy. Vamos verificar se a função possui singularidades dentro do contorno
e, com base nisso, determinar o valor da integral.
Passo 2
Vamos analisar a função
. Essa função tem um ponto onde o denominador é zero, ou seja,
. Esse ponto é chamado de polo da função.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse polo está dentro ou fora do contorno
. O contorno
é o círculo
, ou seja, todos os pontos
cuja distância até a origem é 2.
Passo 4
Calculando a magnitude do polo
:
Como
, o polo está fora do contorno
.
Passo 5
Segundo o Teorema de Cauchy, se uma função analítica (sem singularidades) está sendo integrada sobre um contorno fechado, a integral é igual a zero. Como o único polo da função
está fora de
, a função é analítica dentro desse contorno.
Passo 6
Portanto, aplicando o Teorema de Cauchy, concluímos que a integral de
sobre
é zero.
Resposta
A integral de
sobre o contorno
é igual a zero.