Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=z+1z-3 e C é o círculo |z|=2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a integral da função sobre o contorno , que é o círculo de raio 2 no plano complexo ( ), é igual a zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Complexo, especificamente o Teorema de Cauchy. Vamos verificar se a função possui singularidades dentro do contorno e, com base nisso, determinar o valor da integral.

Passo 2

Vamos analisar a função . Essa função tem um ponto onde o denominador é zero, ou seja, . Esse ponto é chamado de polo da função.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse polo está dentro ou fora do contorno . O contorno é o círculo , ou seja, todos os pontos cuja distância até a origem é 2.

Passo 4

Calculando a magnitude do polo |3| = 3 :
Como , o polo está fora do contorno .

Passo 5

Segundo o Teorema de Cauchy, se uma função analítica (sem singularidades) está sendo integrada sobre um contorno fechado, a integral é igual a zero. Como o único polo da função está fora de , a função é analítica dentro desse contorno.

Passo 6

Portanto, aplicando o Teorema de Cauchy, concluímos que a integral de sobre é zero.

Resposta

A integral de ointC z+1z-3 , dz = 0 sobre o contorno é igual a zero.

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