Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas. Boa Prova!
Dê a solução geral da equação diferencial ordinária (E.D.O) de primeira ordem
x e^x y^prime+(x+1) e^x y-x e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (E.D.O) de primeira ordem que você mandou. O enunciado é:
x e^x y^prime + (x+1) e^x y - x e^x = 0
Aqui, estamos lidando com uma E.D.O linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma E.D.O linear:
y' + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos todos os termos por y' + x+1x y = 1 :
P(x) = x+1x e Q(x) = 1
Agora, a equação está na forma padrão, onde:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que é dado por:
integral x+1x dx = integral 1 dx + integral 1x dx = x + ln|x|
Vamos calcular a integral de mu(x) = e^x + ln|x| = e^x cdot e^ln|x| = e^x cdot x = x e^x :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x e^x y' + (x+1) e^x y = x e^x :
ddx (x e^x y) = x e^x
Mas olha só, isso nos leva de volta à equação original. O truque aqui é reconhecer que o lado esquerdo agora é a derivada do produto . Em outras palavras:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx (x e^x y) dx = integral x e^x dx :
x e^x y = integral x e^x dx + C
A integral do lado esquerdo é simples:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular a integral do lado direito integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
  • x e^x y = x e^x - e^x + C
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Então, temos:

Passo 7

Agora, isolamos y = x e^x - e^x + Cx e^x = x e^xx e^x - e^xx e^x + Cx e^x = 1 - 1x + Cx e^x dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1 - 1x + Cx e^x
Onde é uma constante arbitrária.

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