Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas. Boa Prova!
Dê a solução geral da equação diferencial ordinária (E.D.O) de primeira ordem
Dê a solução geral da equação diferencial ordinária (E.D.O) de primeira ordem
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (E.D.O) de primeira ordem que você mandou. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma E.D.O linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma E.D.O linear:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Agora, a equação está na forma padrão, onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Mas olha só, isso nos leva de volta à equação original. O truque aqui é reconhecer que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Em outras palavras:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular a integral do lado direito
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.