Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=3 z e^zz^2+3 e C é o círculo |z|=5 / 4.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular ointC 3ze^zz^2+3,dz onde C é o círculo |z|=5/4. O conteúdo aqui é o teorema de Cauchy para funções analíticas, e vamos precisar verificar se a função tem singularidades dentro de C.

Passo 2

As singularidades de f(z)=3ze^zz^2+3 vêm da equação
z^2+3=0implies z=pm iraiz3

Passo 3

Calculamos os módulos dessas singularidades:
|pm iraiz3|=raiz3approx1,732>tfrac54=1,25

Passo 4

Como pm iraiz3 estão fora do círculo |z|=5/4, a função f(z) é analítica em todo o interior de C e sobre C.

Passo 5

Pelo teorema de Cauchy, a integral de contorno de uma função analítica num domínio simplesmente conexo é zero. Logo:
ointC3ze^zz^2+3,dz=0

Resposta

0

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