Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=log (z+1)z^2-9 e C é o círculo x^2+y^2-2 x=0.

Passo 1

Vamos mostrar que a integral
ointC log(z+1)z^2-9,dz
é zero porque a função é analítica em todo interior de C.

Passo 2

O contorno C é dado por
x^2+y^2-2x=0
que reescreve em coordenadas complexas como
(x-1)^2+y^2=1
Logo, C é o círculo de centro em 1+0i e raio 1.

Passo 3

As possíveis singularidades de
f(z)=log(z+1)z^2-9
são: polos simples em z=3 e z=-3, e o ramo do log em z=-1 com seu corte na semirreta real ( -infty,-1 ].

Passo 4

Agora, calculamos as distâncias do centro 1 a cada singularidade:
|3-1|=2>1,|-3-1|=4>1,|-1-1|=2>1
O corte do log fica na parte real <=-1, cujo ponto mais próximo de 1 é -1, que também está a distância 2>1.

Passo 5

Como nem os polos nem o ramo (ou corte) do log entram no interior ou cruzam o contorno, f é analítica em toda a região interna a C e na própria C. Pelo Teorema de Cauchy para funções analíticas, a integral em torno de um ciclo fechado é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados