Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas. Boa Prova!
Resolva o Problema de valor inicial (P.V.I)
l (x^2+2 y^2) d x=x y d y y(-1)=1 DICA: faça: u=yx ç

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O problema é um Problema de Valor Inicial (P.V.I) envolvendo uma equação diferencial. A equação que precisamos resolver é:
(x^2+2 y^2) dx = x y dy
E a condição inicial que a gente deve considerar é . Para resolver essa equação, vamos usar um método de substituição sugerido na dica: . Então, vamos precisar entender como aplicar essa substituição para simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição dydx = u + x dudx . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é , para substituir na equação original.
Derivando em relação a :
Então, substituímos e na equação original.

Passo 3

Vamos substituir (x^2 + 2 (u x)^2) dx = x (u x) (u + x dudx) dx e (x^2 + 2 u^2 x^2) = u x^2 (u + x dudx) na equação original:
x^2(1 + 2 u^2) = u x^2 u + u x^3 dudx
Simplificando os termos:
x^2(1 + 2 u^2) = u^2 x^2 + u x^3 dudx

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
x^2(1 + 2 u^2) - u^2 x^2 = u x^3 dudx
x^2(1 + 2 u^2 - u^2) = u x^3 dudx
x^2(1 + u^2) = u x^3 dudx
Agora, vamos dividir ambos os lados por x^2(1 + u^2)u x^3 = dudx para isolar 1 + u^2u x = dudx :

Passo 5

Agora, temos uma equação separável:
dudx = 1 + u^2u x
Vamos separar as variáveis u du1 + u^2 = dxx e :
Agora, vamos integrar ambos os lados.

Passo 6

Integrando os dois lados:
integral u1 + u^2 du = integral 1x dx
Para a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição 12 integral 1v dv = integral 1x dx , então 12 ln|v| = ln|x| + C , ou seja, 12 ln(1 + u^2) = ln|x| + C :
Isso resulta em:
Substituindo de volta :

Passo 7

Vamos resolver para ln(1 + u^2) = 2 ln|x| + C' :
1 + u^2 = K x^2
Onde 1 + (yx)^2 = K x^2 é uma constante arbitrária. Podemos escrever:
x^2 + y^2 = K x^4
Onde . Agora, lembrando que :
Multiplicando tudo por :

Passo 8

Agora, vamos usar a condição inicial (-1)^2 + (1)^2 = K (-1)^4 para encontrar a constante 1 + 1 = K (1) :
2 = K
x^2 + y^2 = 2 x^4
Então, a equação geral fica:

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:
x^2 + y^2 = 2 x^4

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