Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos
dados. Observe que a orientação de
é irrelevante.
e
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, onde
é o círculo dado por
. O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções analíticas e precisamos verificar que
é analítica em toda a região interior e na fronteira de
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a curva
em termos de centro e raio. A equação
pode ser escrita como
que é o círculo de centro
e raio
.
Passo 3
A seguir, identificamos as singularidades de
. São elas:
- Polos de
, ou seja, e . - Ponto de ramificação (e possível ramo de corte) da função
em .
Passo 4
Agora calculamos a distância de cada singularidade ao centro
:
- Para
:
logo está fora de
.
- Para
:
também está fora.
- Para
:
portanto está fora. Além disso, podemos escolher o ramo principal de
de modo que o corte não interseccione
nem seu interior.
Passo 5
Como não há nenhuma singularidade nem corte de ramo dentro ou sobre
, a função
é analítica nessa região e, pelo Teorema de Cauchy, temos
Resposta
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