Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=log (z+i)z^2-9 e C é o círculo x^2+y^2+2 x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ointC log(z+i)z^2-9,dz=0, onde C é o círculo dado por x^2+y^2+2x=0. O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções analíticas e precisamos verificar que f(z)=log(z+i)z^2-9 é analítica em toda a região interior e na fronteira de C.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a curva C em termos de centro e raio. A equação x^2+y^2+2x=0 pode ser escrita como
(x+1)^2+y^2=1,
que é o círculo de centro c=(-1,0) e raio R=1.

Passo 3

A seguir, identificamos as singularidades de f(z). São elas:
  • Polos de z^2-9=0, ou seja, z=3 e z=-3.
  • Ponto de ramificação (e possível ramo de corte) da função log(z+i) em z=-i.

Passo 4

Agora calculamos a distância de cada singularidade ao centro c=-1+0i:
  • Para z=3:
|3-(-1)|=4>1,
logo está fora de C.
  • Para z=-3:
|-3-(-1)|=2>1,
também está fora.
  • Para z=-i:
|-i-(-1)|=|1-i|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2>1,
portanto está fora. Além disso, podemos escolher o ramo principal de log(z+i) de modo que o corte não interseccione C nem seu interior.

Passo 5

Como não há nenhuma singularidade nem corte de ramo dentro ou sobre C, a função f(z) é analítica nessa região e, pelo Teorema de Cauchy, temos
ointC log(z+i)z^2-9,dz=0

Resposta

0

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