Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos
dados. Observe que a orientação de
é irrelevante.
e
é o quadrado de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a integral da função
ao redor de um contorno
, que é um quadrado com vértices em
, é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Análise Complexa, especificamente o Teorema de Cauchy sobre integrais de funções holomorfas (analíticas) em regiões sem singularidades internas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
pode ter problemas, ou seja, onde ela não é analítica. Olhando para
, temos dois pontos que podem causar singularidades:
-
: Aqui, o denominador se torna zero, o que pode indicar uma singularidade de pólo. -
: Neste ponto, o argumento do logaritmo se torna zero, e o logaritmo não está definido, sugerindo um ponto de ramificação.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses pontos
e
estão dentro do contorno
. O contorno é um quadrado com vértices em
, o que significa que ele está centrado na origem e se estende de
a
tanto no eixo real quanto no imaginário.
- Para
: O valor real é , que está fora do intervalo a . Então, está fora do contorno. - Para
: O valor imaginário é , que também está fora do intervalo a . Portanto, também está fora do contorno.
Passo 4
Como ambos os pontos problemáticos estão fora do contorno
, a função
não tem singularidades dentro de
. Além disso, a função
é analítica em toda a região interna ao contorno, já que não há pontos onde ela não seja bem definida.
Passo 5
De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em uma região fechada e seu interior, então a integral dessa função ao longo do contorno que delimita essa região é zero. Como verificamos que
é analítica dentro de
, podemos concluir que:
Resposta
A integral da função
sobre o contorno
é igual a zero.