Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=log (z-2 i)z+2 e C é o quadrado de vértices pm 1 pm i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a integral da função ao redor de um contorno , que é um quadrado com vértices em , é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Análise Complexa, especificamente o Teorema de Cauchy sobre integrais de funções holomorfas (analíticas) em regiões sem singularidades internas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter problemas, ou seja, onde ela não é analítica. Olhando para , temos dois pontos que podem causar singularidades:
  1. : Aqui, o denominador se torna zero, o que pode indicar uma singularidade de pólo.
  2. : Neste ponto, o argumento do logaritmo se torna zero, e o logaritmo não está definido, sugerindo um ponto de ramificação.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses pontos e estão dentro do contorno . O contorno é um quadrado com vértices em , o que significa que ele está centrado na origem e se estende de a tanto no eixo real quanto no imaginário.
  • Para : O valor real é , que está fora do intervalo a . Então, está fora do contorno.
  • Para : O valor imaginário é , que também está fora do intervalo a . Portanto, também está fora do contorno.

Passo 4

Como ambos os pontos problemáticos estão fora do contorno , a função não tem singularidades dentro de . Além disso, a função é analítica em toda a região interna ao contorno, já que não há pontos onde ela não seja bem definida.

Passo 5

De acordo com o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica em uma região fechada e seu interior, então a integral dessa função ao longo do contorno que delimita essa região é zero. Como verificamos que ointC log (z - 2i)z + 2 , dz = 0 é analítica dentro de , podemos concluir que:

Resposta

A integral da função sobre o contorno é igual a zero.

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