Nos Exercs. 1 a 11, mostre que são nulas as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados. Observe que a orientação de C é irrelevante.
f(z)=log (z-1+i)z^2+9 e C é o quadrado de vértices pm 1 e pm i.

Passo 1

Estamos integrando a função f(z)=log(z-1+i)z^2+9 ao longo do contorno C, que é o quadrado de vértices pm1 e pm i. O conteúdo aqui é cálculo de integrais de funções analíticas em contornos fechados, e vamos usar o Teorema de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, identificamos as possíveis singularidades de f: o denominador z^2+9=0 dá polo simples em z=3i e z=-3i, e o logarítmo tem ponto ramo em z=1-i. Observamos que 3i, -3i e 1-i ficam fora do quadrado C.

Passo 3

Em seguida, escolhemos um ramo principal de log(z-1+i) cujo corte não cruza o interior de C, garantindo que log(z-1+i) seja analítica na região interna a C. Como não há singularidades dentro nem sobre C, aplicamos o Teorema de Cauchy e concluímos que a integral é nula.

Resposta

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