Mostre que alpha(t)=(cos ^2(t)-12, sen(t) cos (t), sen(t)) é uma parametrização da curva de interseç̧ão do cilindro de raio 12 e o exio O z, com a esfera de raio 1 e centro (-12, 0,0) (chamada curva de Viviani).

Passo 1

Temos a curva alpha(t) = (cos^2 t - tfrac12,;sin t,cos t,;sin t). O objetivo é mostrar que ela está simultaneamente no cilindro de raio tfrac12 em torno do eixo OZ e na esfera de centro (-tfrac12,0,0) e raio 1. Vamos usar a definição de cada superfície e substituir as coordenadas de alpha(t).

Passo 2

Primeiro, verificamos que alpha(t) está no cilindro de raio tfrac12. A equação desse cilindro é x^2+y^2=(tfrac12)^2. Substituindo x=cos^2 t-tfrac12 e y=sin t,cos t:
x^2+y^2=(cos^2 t-tfrac12)^2+(sin t,cos t)^2 =cos^4 t-cos^2 t+tfrac14+sin^2 t,cos^2 t =cos^2 t(cos^2 t+sin^2 t)-cos^2 t+tfrac14 =cos^2 t-cos^2 t+tfrac14=tfrac14

Passo 3

Em seguida, mostramos que alpha(t) está na esfera (x+tfrac12)^2+y^2+z^2=1. Substituímos x+tfrac12=cos^2 t, y=sin t,cos t e z=sin t:
(x+tfrac12)^2+y^2+z^2=cos^4 t+sin^2 t,cos^2 t+sin^2 t =cos^2 t(cos^2 t+sin^2 t)+sin^2 t =cos^2 t+sin^2 t=1

Passo 4

Como alpha(t) satisfaz as duas equações simultaneamente, ela descreve exatamente a curva de interseção (curva de Viviani).

Resposta

A parametrização alpha(t)=(cos^2 t-tfrac12,;sin t,cos t,;sin t) satisfaz as equações do cilindro x^2+y^2=tfrac14 e da esfera (x+tfrac12)^2+y^2+z^2=1, logo é a curva de Viviani.

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