Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o argumento do número complexo $ z = \frac{-4}{\sqrt{3} - i} $, escrever ele na forma polar e representar geometricamente. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de números complexos, como parte real e imaginária, argumento, forma polar e um pouquinho de geometria no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ z $. Para isso, vamos racionalizar o denominador, ou seja, eliminar o número imaginário do denominador. Fazemos isso multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
O conjugado de $ \sqrt{3} - i $ é $ \sqrt{3} + i $. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o denominador usando a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora temos $ z = -\sqrt{3} - i $. Vamos identificar a parte real e a parte imaginária:
Passo 5
Para encontrar o argumento de $ z $, usamos a fórmula:
Mas precisamos considerar o quadrante em que o número está. Como ambos $ a $ e $ b $ são negativos, $ z $ está no terceiro quadrante.
Calculando o valor absoluto:
Como está no terceiro quadrante, o argumento é:
Passo 6
Agora, vamos escrever $ z $ na forma polar. A forma polar é dada por:
Primeiro, encontramos o módulo $ r $:
Então, a forma polar fica:
Resposta
O argumento de $ z = \frac{-4}{\sqrt{3} - i} $ é $ 210^\circ $, sua forma polar é $ 2\left(\cos210^\circ + i\sin210^\circ\right) $, e geometricamente, ele está localizado no terceiro quadrante do plano complexo com módulo 2 e ângulo de 210 graus.