Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial:
y^prime prime(t)+2 y^prime(t)+y(t)=0
com as condições iniciais y(0)=3 e y^prime(0)=-1.

Passo 1

O problema é resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem y’’(t)+2y’(t)+y(t)=0 com as condições iniciais y(0)=3 e y’(0)=-1 usando Transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e depois aplicar frações parciais para inverter.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equação, lembrando que L{y’’}=s^2Y(s)-s y(0)-y’(0) e L{y’}=sY(s)-y(0), obtemos:
(s^2Y(s)-3s+1)+2(sY(s)-3)+Y(s)=0

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e movendo as constantes:
(s^2+2s+1)Y(s)-3s+1-6=0
Ou seja,
(s+1)^2Y(s)-3s-5=0
Então isolamos Y(s):
Y(s)=3s+5(s+1)^2

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, fazemos frações parciais. Escrevemos 3s+5(s+1)^2=As+1+B(s+1)^2. Isso dá
A(s+1)+B=3s+5
Comparando coeficientes em s e termo constante: A=3 e A+B=5 ⇒ B=2.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a Transformada de Laplace inversa sabendo que L{-1}{1/(s+1)}=e{-t} e L{-1}{1/(s+1)2}=t e^{-t}. Assim
y(t)=3e^-t+2t e^-t

Resposta

y(t)=(3+2t)e^{-t}

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