Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial:
com as condições iniciais
e
.
Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O problema é resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem y’’(t)+2y’(t)+y(t)=0 com as condições iniciais y(0)=3 e y’(0)=-1 usando Transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e depois aplicar frações parciais para inverter.
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equação, lembrando que L{y’’}=s^2Y(s)-s y(0)-y’(0) e L{y’}=sY(s)-y(0), obtemos:
Passo 3
Agrupando os termos em Y(s) e movendo as constantes:
Ou seja,
Então isolamos Y(s):
Passo 4
Para voltar ao domínio do tempo, fazemos frações parciais. Escrevemos
. Isso dá
Comparando coeficientes em s e termo constante: A=3 e A+B=5 ⇒ B=2.
Passo 5
Finalmente, aplicamos a Transformada de Laplace inversa sabendo que L{-1}{1/(s+1)}=e{-t} e L{-1}{1/(s+1)2}=t e^{-t}. Assim
Resposta
y(t)=(3+2t)e^{-t}