Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, represente-os na forma polar e geometricamente.
z=-1-i.

Passo 1

O enunciado pede para o número complexo
z = -1 - i
determinarmos (i) o argumento arg(z), (ii) a forma polar e (iii) a representação geométrica no plano complexo.
Para isso vamos usar:
  • |z| = raizx^2 + y^2 para o módulo,
  • arg(z)=theta tal que tantheta = yx, escolhendo o quadrante correto.

Passo 2

Identificamos x = -1 e y = -1. Assim o módulo é
|z| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 3

O ângulo de referência (no primeiro quadrante) é
alpha = arctanl|tfracyxr| = arctan(1) = tfracpi4
Como x<0 e y<0, z está no terceiro quadrante. O argumento principal em (-pi,pi] fica
arg(z) = -pi + alpha = -pi + tfracpi4 = -tfrac3pi4

Passo 4

Escrevendo z na forma polar r(costheta + isintheta) e na forma exponencial, temos
z = raiz2,l(cos(-tfrac3pi4) + i,sin(-tfrac3pi4)r)
e equivalentemente
z = raiz2,e^-,i,tfrac3pi4

Passo 5

Geométricamente, z corresponde ao ponto (-1,-1) no plano de Argand. O vetor que liga a origem a esse ponto forma um ângulo de -tfrac3pi4 (ou 225^circ) com o eixo real positivo e tem comprimento raiz2.

Resposta

arg(z) = -tfrac3pi4
z = raiz2,l(cos(-tfrac3pi4) + i,sin(-tfrac3pi4)r) = raiz2,e^-,i,tfrac3pi4
Geométrico: ponto (-1,-1), vetor de módulo raiz2 e ângulo -tfrac3pi4.

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