Exercício 2.6. (Equação do Calor em uma Barra com Convecção na Superfície Lateral) Assuma que uma barra uniforme homogênea é isolada termicamente apenas em suas extremidades e que ela perde calor através de sua superfície lateral a uma taxa por unidade de comprimento diretamente proporcional à diferença , onde é a temperatura do meio ambiente ao redor da barra. Mostre que a equação de propagação do calor agora é
onde é uma constante positiva. Resolva o problema (de Neumann) associado, usando a função
para reduzir o problema a um já resolvido.
Passo 1
O enunciado trata da difusão de calor em uma barra de comprimento , isolada termicamente nas extremidades, mas que perde calor pela superfície lateral à taxa por comprimento proporcional a , onde é a temperatura ambiente. Precisamos (1) mostrar que a equação resultante é
com , e (2) resolver o problema de valor de Neumann
usando a transformação
v(x,t)=e^h tl(u(x,t)-Tr)
Passo 2
Derivação da equação com convecção lateral. Sem convecção teríamos por conservação de energia e Lei de Fourier
ut=K,uxx
Como há perda de calor por convecção lateral à taxa por comprimento proporcional a u-T, surge um termo -h,(u-T). Assim a equação fica
ut=K,uxx-h,(u-T)
Passo 3
Aplicação da transformação v=e^ht(u-T). Calculamos