Exercício 2.6. (Equação do Calor em uma Barra com Convecção na Superfície Lateral) Assuma que uma barra uniforme homogênea é isolada termicamente apenas em suas extremidades e que ela perde calor através de sua superfície lateral a uma taxa por unidade de comprimento diretamente proporcional à diferença u(x, t)-T, onde T é a temperatura do meio ambiente ao redor da barra. Mostre que a equação de propagação do calor agora é
ut=K ux x-h(u-T),
onde h é uma constante positiva. Resolva o problema (de Neumann) associado, usando a função
v=e^h t(u-T)
para reduzir o problema a um já resolvido.

Passo 1

O enunciado trata da difusão de calor em uma barra de comprimento L, isolada termicamente nas extremidades, mas que perde calor pela superfície lateral à taxa por comprimento proporcional a u(x,t)-T, onde T é a temperatura ambiente. Precisamos (1) mostrar que a equação resultante é
ut=K,uxx-hl(u-Tr),
com h>0, e (2) resolver o problema de valor de Neumann
ut=K,uxx-h,(u-T),&0<x<L,;t>0, ux(0,t)=0, ux(L,t)=0,&t>0, u(x,0)=f(x),&0<= x<= L,
usando a transformação
v(x,t)=e^h tl(u(x,t)-Tr)

Passo 2

Derivação da equação com convecção lateral. Sem convecção teríamos por conservação de energia e Lei de Fourier
ut=K,uxx
Como há perda de calor por convecção lateral à taxa por comprimento proporcional a u-T, surge um termo -h,(u-T). Assim a equação fica
ut=K,uxx-h,(u-T)

Passo 3

Aplicação da transformação v=e^ht(u-T). Calculamos
vt=h,e^ht(u-T)+e^htut=h,v+e^htl(K,uxx-h(u-T)r) =K,e^htuxx=K,vxx
As condições de Neumann viram
;vx(0,t)=e^htux(0,t)=0 e ;vx(L,t)=0,
e a condição inicial é
v(x,0)=u(x,0)-T=: phi(x)
Portanto v satisfaz o problema clássico
vt=K,vxx,&0<x<L,;t>0, vx(0,t)=vx(L,t)=0,&t>0, v(x,0)=phi(x),&0<= x<= L

Passo 4

Solução por séries de Fourier em modo cosseno. Expandimos
phi(x)=a0+sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi xLr),
onde
a0=1Lintegral0^Lphi(s),ds, an=2Lintegral0^Lphi(s)cos!l(tfracnpi sLr),ds
Então a solução é
v(x,t) =a0+sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi xLr),e^-K,(tfracnpiL)^2t

Passo 5

Volta à variável u. Como u-T=e^-htv, temos
u(x,t)=T+e^-ht,v(x,t) =T+e^-htgl[a0+sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi xLr),e^-K,(tfracnpiL)^2tgr]
Em outras palavras
u(x,t) =T+a0,e^-ht +sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi xLr), e^-l[K(tfracnpiL)^2+hr],t

Resposta

ut=K,uxx-h,(u-T),
e a solução do problema de Neumann com u(x,0)=f(x) é
u(x,t) =T+e^-htgl[1Lintegral0^Ll(f(s)-Tr)ds +sumn=1^inftyl(2Lintegral0^Ll(f(s)-Tr)cos!tfracnpi sL,dsr) cos!tfracnpi xL,e^-K(tfracnpiL)^2tgr]

Exercícios relacionados