Exercs. 1-12: (a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita:
. O exercício pede duas coisas:
a) Mostrar que a função que define o termo geral da série satisfaz as condições do teste da integral.
b) Usar esse teste para ver se a série converge ou diverge.
a) Mostrar que a função que define o termo geral da série satisfaz as condições do teste da integral.
b) Usar esse teste para ver se a série converge ou diverge.
Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre séries e testes de convergência, especificamente o teste da integral.
Passo 2
Primeiro, para aplicar o teste da integral, precisamos que a função
seja positiva, contínua e decrescente para
.
Passo 3
Vamos verificar essas condições uma por uma:
-
Positiva: Para todo
, , então . -
Contínua: A função
é contínua para porque não tem interrupções ou descontinuidades nesse intervalo. -
Decrescente: Vamos ver se a função está sempre diminuindo. A derivada de
em relação a é negativa:
Isso mostra que
está sempre diminuindo conforme
aumenta.
Passo 4
Como todas as condições do teste da integral são satisfeitas, podemos aplicar o teste para determinar a convergência da série.
Passo 5
Agora, aplicamos o teste da integral. Vamos calcular a integral correspondente:
Passo 6
Fazendo a substituição
, temos
. Os limites de integração mudam para
quando
e
tende ao infinito quando
tende ao infinito. Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos:
Avaliado de 5 a
:
Passo 8
Como a integral convergiu para um valor finito (
), pelo teste da integral, a série também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.