Exercs. 1-12: (a) Mostre que a função f determinada pelo n^mo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1(4+n)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: . O exercício pede duas coisas:
a) Mostrar que a função que define o termo geral da série satisfaz as condições do teste da integral.
b) Usar esse teste para ver se a série converge ou diverge.
Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre séries e testes de convergência, especificamente o teste da integral.

Passo 2

Primeiro, para aplicar o teste da integral, precisamos que a função seja positiva, contínua e decrescente para .

Passo 3

Vamos verificar essas condições uma por uma:
  1. Positiva: Para todo f'(x) = -32(4+x)^-5/2 < 0 , , então .
  2. Contínua: A função é contínua para porque não tem interrupções ou descontinuidades nesse intervalo.
  3. Decrescente: Vamos ver se a função está sempre diminuindo. A derivada de em relação a é negativa:
Isso mostra que está sempre diminuindo conforme aumenta.

Passo 4

Como todas as condições do teste da integral são satisfeitas, podemos aplicar o teste para determinar a convergência da série.

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da integral. Vamos calcular a integral correspondente:
integral1^infty 1(4+x)^3/2 dx

Passo 6

Fazendo a substituição integral5^infty 1u^3/2 du , temos . Os limites de integração mudam para quando e tende ao infinito quando tende ao infinito. Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos:
integral 1u^3/2 du = integral u^-3/2 du = [ -2u^-1/2 ]
Avaliado de 5 a limb to infty ( -2b^-1/2 + 2(5)^-1/2 ) = 0 + 2raiz5 = 2raiz5 :

Passo 8

Como a integral convergiu para um valor finito ( ), pelo teste da integral, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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