Verificar se o campo dado por F(x, y, z)=e^x-1 i+x y j é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional (curl) do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o seu rotacional é zero em todas as direções.

Passo 3

Então, para verificar se nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k é conservativo, vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Como no nosso caso , as derivadas em relação a serão zero.

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  • Componente partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 0 - 0 = 0 :
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - 0 = 0
  • Componente partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (x y)partial x - partial (e^x-1)partial y = y - 0 = y :
  • Componente :

Passo 5

Então, o rotacional de nabla times F = 0,i + 0,j + y,k é:
Como o rotacional não é o vetor nulo (ele depende de ), isso significa que não é um campo conservativo.

Resposta

O campo não é conservativo.

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