Verificar se o campo dado por
é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial
é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional (curl) do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja,
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o seu rotacional é zero em todas as direções.
Passo 3
Então, para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Como no nosso caso
, as derivadas em relação a
serão zero.
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Então, o rotacional de
é:
Como o rotacional não é o vetor nulo (ele depende de
), isso significa que
não é um campo conservativo.
Resposta
O campo
não é conservativo.