Sendo F um campo vetorial qualquer no espaço 3D, que possui derivadas parciais contínuas, calcular a divergência do Campo Rotacional de F.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial no espaço 3D, que tem derivadas parciais contínuas. Queremos calcular a divergência do rotacional desse campo. Aqui, vamos precisar entender o que são divergência e rotacional (ou rotacional) de um campo vetorial para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) , mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Em termos matemáticos, para um campo , o rotacional é dado por:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por nabla cdot G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z para um campo , mede a taxa de variação “saindo” de um ponto. Matematicamente, é dada por:

Passo 4

Agora, queremos achar a divergência do rotacional de nabla cdot (nabla times F) = partialpartial x( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) + partialpartial y( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) + partialpartial z( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) , ou seja, = partial^2 Fzpartial x partial y - partial^2 Fypartial x partial z + partial^2 Fxpartial y partial z - partial^2 Fzpartial y partial x + partial^2 Fypartial z partial x - partial^2 Fxpartial z partial y . Vamos aplicar a definição de divergência ao rotacional que calculamos no Passo 2:
partial^2 Fzpartial x partial y - partial^2 Fzpartial y partial x = 0
Vamos expandir isso:
partial^2 Fypartial z partial x - partial^2 Fypartial x partial z = 0
Observamos que cada par de termos se cancela:
partial^2 Fxpartial y partial z - partial^2 Fxpartial z partial y = 0
nabla cdot (nabla times F) = 0
Então, somando tudo:

Resposta

A divergência do rotacional de nabla cdot (nabla times F) = 0 é igual a zero.

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