Sendo
um campo vetorial qualquer no espaço 3D, que possui derivadas parciais
contínuas, calcular a divergência do Campo Rotacional de F.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
no espaço 3D, que tem derivadas parciais contínuas. Queremos calcular a divergência do rotacional desse campo. Aqui, vamos precisar entender o que são divergência e rotacional (ou rotacional) de um campo vetorial para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Em termos matemáticos, para um campo
, o rotacional é dado por:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
para um campo
, mede a taxa de variação “saindo” de um ponto. Matematicamente, é dada por:
Passo 4
Agora, queremos achar a divergência do rotacional de
, ou seja,
. Vamos aplicar a definição de divergência ao rotacional que calculamos no Passo 2:
Vamos expandir isso:
Observamos que cada par de termos se cancela:
Então, somando tudo:
Resposta
A divergência do rotacional de
é igual a zero.