Exercs. 1-12: (a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Enunciado e objetivo: analisar a série
usando o teste da integral. Precisamos definir a função
, verificar que ela é contínua, positiva e decrescente em
, e avaliar a integral imprópria
.
Passo 2
Verificar continuidade e positividade: a expressão
é produto de funções contínuas e
, logo
é contínua e positiva para
.
Passo 3
Mostrar que
é decrescente para
: calcule a derivada. Temos
Para
,
, então
e
. Dessa forma,
é decrescente em
.
Passo 4
Avaliar a integral associada usando substituição. Seja
, então
e
. Assim,
Passo 5
Conclusão pelo teste da integral: como
, a série
converge.
Resposta
A série converge pela integral, pois
.