Exercs. 1-12: (a) Mostre que a função f determinada pelo n^mo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n^2 e^-n^3

Passo 1

Enunciado e objetivo: analisar a série sumn=1^infty n^2 e^-n^3 usando o teste da integral. Precisamos definir a função f(x)=x^2 e^-x^3, verificar que ela é contínua, positiva e decrescente em [1,infty), e avaliar a integral imprópria integral1^infty f(x),dx.

Passo 2

Verificar continuidade e positividade: a expressão x^2 e^-x^3 é produto de funções contínuas e e^-x^3>0, logo f é contínua e positiva para x>=1.

Passo 3

Mostrar que f é decrescente para x>=1: calcule a derivada. Temos
f'(x)=ddxl(x^2 e^-x^3r)=e^-x^3(2x-3x^4)=x e^-x^3(2-3x^3)
Para x>=1, 3x^3>=3>2, então 2-3x^3<0 e f'(x)<0. Dessa forma, f é decrescente em [1,infty).

Passo 4

Avaliar a integral associada usando substituição. Seja t=x^3, então dt=3x^2,dx e x^2,dx=dt/3. Assim,
integral1^infty x^2 e^-x^3,dx =13integralt=1^3^infty e^-t,dt =13l[-e^-tr]1^infty =13e^-1

Passo 5

Conclusão pelo teste da integral: como integral1^infty x^2 e^-x^3,dx=tfrac13e^-1, a série sumn=1^infty n^2 e^-n^3 converge.

Resposta

A série converge pela integral, pois integral1^infty x^2 e^-x^3,dx=tfrac13e^-1.

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