Exercs. 9-14: Use a série de Maclaurin obtida nesta seção para achar uma série de Maclaurin para f(x).
12 f(x)=cos (x^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin de f(x) sabendo que 12 f(x)=cos(x²). O conteúdo envolvido é série de Taylor em torno de x=0 (série de Maclaurin) e vamos precisar da expansão de cos x.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos x é dada por
cos x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k(2k)!
Isso vem da definição de Taylor em x=0, usando as derivadas de cos x em zero.

Passo 3

Substituindo x por x² nessa expansão temos
cos(x^2) = sumk=0^infty (-1)^k (x^2)^2k(2k)! = sumk=0^infty (-1)^k x^4k(2k)!

Passo 4

Como 12 f(x)=cos(x²), basta dividir toda a série acima por 12. Assim:
f(x)=112sumk=0^infty(-1)^kx^4k(2k)!
Para especificar, os primeiros termos são
f(x)=112l(1 - x^42! + x^84! - cdotsr)

Resposta

f(x)=112sumk=0^infty(-1)^kx^4k(2k)!

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