Exercs. 15-26: Represente f(x) por uma série de potências, usando os resultados desta seção.
f(x)=cosh (-2 x)

Passo 1

Estamos representando f(x)=cosh(-2x) por uma série de potências. O conteúdo aqui é expansão de Maclaurin (série de Taylor em torno de zero) para funções hiperbólicas, e vamos precisar da série conhecida para cosh(x).

Passo 2

Lembrando que cosh(x) é uma função par, ou seja, cosh(-u)=cosh(u). Portanto, f(x)=cosh(-2x)=cosh(2x). A teoria diz que a série de Maclaurin de cosh(u) é
cosh(u)=sumn=0^inftyu^2n(2n)!
Para obter cosh(2x), fazemos u=2x na expansão acima:
cosh(2x)=sumn=0^infty(2x)^2n(2n)!
Em seguida, simplificamos o termo geral:
(2x)^2n(2n)!=2^2nx^2n(2n)!
Juntando tudo, a série de potências de f(x) fica com raio de convergência infinito.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty2^2n(2n)!,x^2n.

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