Seja
a parte da esfera
que se encontra no primeiro octante, orientada com campo normal unitário apontando para baixo, e seja
a fronteira de S. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao redor da curva limite
de uma parte da esfera
que está no primeiro octante. A orientação da superfície
é tal que o vetor normal unitário aponta para baixo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva com a integral da circulação do rotacional do campo vetorial sobre a superfície limitada por essa curva. Então, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial dado e integrar sobre a superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui,
é o campo vetorial,
é a curva limitada por
,
é o rotacional de
, e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos identificar o campo vetorial
do exercício:
Precisamos calcular o rotacional de
, ou seja,
.
Passo 4
O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, o rotacional é:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. Como
é parte da esfera
, o vetor normal unitário na esfera é simplesmente o vetor posição
normalizado. Mas a orientação é para baixo, então o vetor normal será:
Porque a esfera tem raio 1,
.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Substituindo
e
:
Calculando o produto escalar:
Agora, observamos que na esfera
, então podemos substituir:
Mas vamos simplificar isso usando simetria. No primeiro octante, podemos usar coordenadas esféricas ou parametrizar a superfície. Porém, para simplificar, vamos considerar que sobre a esfera, a integral de
e
são iguais devido à simetria, e em uma esfera completa:
Para a parte da esfera no primeiro octante, será
disso:
Então,
Resposta
O valor da integral é zero.