(2,5 pts) Seja S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 que se encontra no primeiro octante, orientada com campo normal unitário apontando para baixo, e seja gamma a fronteira de S. Calcule ointgamma[2 y z+y] d x+[x+arctan (y^3)] d y+[x y+e^z^2] d z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao redor da curva limite gamma de uma parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 que está no primeiro octante. A orientação da superfície S é tal que o vetor normal unitário aponta para baixo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva com a integral da circulação do rotacional do campo vetorial sobre a superfície limitada por essa curva. Então, vamos precisar calcular o rotacional do campo vetorial dado e integrar sobre a superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, F é o campo vetorial, gamma é a curva limitada por S, nabla times F é o rotacional de F, e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos identificar o campo vetorial F do exercício:
F = (2 y z + y)i + (x + arctan(y^3))j + (x y + e^z^2)k
Precisamos calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F.

Passo 4

O rotacional de F é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
partial Fzpartial y = partialpartial y(x y + e^z^2) = x
partial Fypartial z = partialpartial z(x + arctan(y^3)) = 0
i: x - 0 = x
  1. Componente j:
partial Fxpartial z = partialpartial z(2 y z + y) = 2 y
partial Fzpartial x = partialpartial x(x y + e^z^2) = y
j: 2 y - y = y
  1. Componente k:
partial Fypartial x = partialpartial x(x + arctan(y^3)) = 1
partial Fxpartial y = partialpartial y(2 y z + y) = 2 z + 1
k: 1 - (2 z + 1) = -2 z
Então, o rotacional é:
nabla times F = x i + y j - 2 z k

Passo 5

Agora, precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. Como S é parte da esfera x^2+y^2+z^2=1, o vetor normal unitário na esfera é simplesmente o vetor posição (x, y, z) normalizado. Mas a orientação é para baixo, então o vetor normal será:
n = -(x, y, z)raizx^2 + y^2 + z^2 = -(x, y, z)
Porque a esfera tem raio 1, raizx^2 + y^2 + z^2 = 1.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
ointgamma F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo nabla times F e n:
= integral duplaS (x i + y j - 2 z k) cdot (-x i - y j - z k) , dS
Calculando o produto escalar:
= integral duplaS (-x^2 - y^2 + 2 z^2) , dS
Agora, observamos que na esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, então podemos substituir:
= integral duplaS (-x^2 - y^2 + 2(1 - x^2 - y^2)) , dS = integral duplaS (-x^2 - y^2 + 2 - 2 x^2 - 2 y^2) , dS
= integral duplaS (2 - 3x^2 - 3y^2) , dS
Mas vamos simplificar isso usando simetria. No primeiro octante, podemos usar coordenadas esféricas ou parametrizar a superfície. Porém, para simplificar, vamos considerar que sobre a esfera, a integral de x^2 e y^2 são iguais devido à simetria, e em uma esfera completa:
integral duplaesfera x^2 , dS = integral duplaesfera y^2 , dS = integral duplaesfera z^2 , dS = 4pi r^23
Para a parte da esfera no primeiro octante, será 18 disso:
integral duplaS x^2 , dS = integral duplaS y^2 , dS = integral duplaS z^2 , dS = 4pi3 times 18 = pi6
Então,
integral duplaS (2 - 3x^2 - 3y^2) , dS = 2 integral duplaS dS - 3 ( integral duplaS x^2 , dS + integral duplaS y^2 , dS )
= 2 times 18 times 4pi times (14) (área da porção) - 3 ( pi6 + pi6 ) áçã
= 2 times pi2 - 3 times pi3 = pi - pi = 0

Resposta

O valor da integral é zero.

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