Exercs. 7-16: Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
1+(-1raiz5)+cdots+(-1raiz5)^n-1+cdots

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série infinita 1 + (−1/√5) + ⋯ + (−1/√5)^{n−1} + ⋯, usando o Teorema 11.15 sobre séries geométricas.

Passo 2

Identificamos que se trata de uma série geométrica com primeiro termo a = 1 e razão r = −1/√5. Pelo Teorema 11.15, ela converge se e somente se |r| < 1.

Passo 3

Calculamos |r| = |−1/√5| = 1/√5. Como 1/√5 < 1, concluímos que a série converge.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da soma de uma série geométrica convergente:
S = a1-r = 11 - (-1/raiz5) = 11 + 1raiz5
Simplificando a fração:
S = 1raiz5 + 1raiz5 = raiz5raiz5 + 1 = 5 - raiz54

Resposta

A série converge e sua soma é 5 - raiz54.

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