Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
sumn=1^infty 1raizn+1+raizn (Sugestão: Racionalize o denominador.)

Passo 1

Esse exercício pede para somar a série sumn=1^infty 1raizn+1+raizn. O conteúdo central é o de séries telescópicas, e vamos precisar racionalizar o denominador de cada termo para ver o cancelamento entre termos consecutivos.

Passo 2

Para racionalizar o denominador, observe que multiplicando numerador e denominador por raizn+1-raizn temos:
1raizn+1+raizn ;=; raizn+1-raizn(raizn+1+raizn)(raizn+1-raizn) ;=; raizn+1-raizn
Agora os termos da soma ficam raizn+1-raizn, e ao formar as somas parciais temos cancelamentos telescópicos.

Passo 3

Calculando as três primeiras somas parciais:
S1 = raiz2-raiz1 = raiz2-1
S2 = (raiz2-1)+(raiz3-raiz2)=raiz3-1
S3 = (raiz3-1)+(2-raiz3)=2-1=1
Percebe-se o padrão telescópico:
Sn = (raiz2-1)+(raiz3-raiz2)+cdots+(raizn+1-raiz n) = raizn+1-1

Passo 4

Para verificar convergência, analisamos o limite de Sn quando ntoinfty:
limntoinftySn = limntoinfty(raizn+1-1)=+infty
Como o limite das somas parciais diverge, a série não é convergente.

Resposta

(a) S1=raiz2-1, S2=raiz3-1, S3=1. (b) Sn=raizn+1-1. © A série diverge (não tem soma finita).

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