Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
sumn=1^infty 14 n^2-1

Passo 1

O exercício pede para calcular as somas parciais S₁, S₂, S₃, a soma parcial geral Sₙ e a soma da série ∑ₙ₌₁^∞ 1/(4n²−1). O conteúdo envolve somas telescópicas e usaremos decomposição em frações parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais de 1/(4n²−1). Note que 4n²−1 = (2n−1)(2n+1), então procuramos A e B tais que
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Resolvendo dá A=1/2 e B=−1/2, logo
14n²−1 = 12l(12n-1 - 12n+1r) ²

Passo 3

Agora somamos de n=1 até n para obter Sₙ. Usando a forma telescópica:
Sₙ = sumk=1^n 14k²-1 = 12sumk=1^n l(12k-1 - 12k+1r) ²
Ao expandir, quase todos os termos se cancelam, sobrando
Sₙ = 12l(1 - 12n+1r)

Passo 4

Para achar S₁, S₂ e S₃, substituímos n=1,2,3 na fórmula de Sₙ:
Para n=1: S₁ = tfrac12(1 - tfrac13) = tfrac13.
Para n=2: S₂ = tfrac12(1 - tfrac15) = tfrac25.
Para n=3: S₃ = tfrac12(1 - tfrac17) = tfrac37.

Passo 5

Para verificar a convergência, fazemos n to infty em Sₙ. Como limntoinftytfrac12n+1=0, temos
limntoinfty Sₙ = 12(1 - 0) = 12
Logo a série converge e sua soma é 1/2.

Resposta

a) S₁ = 1/3, S₂ = 2/5, S₃ = 3/7; b) Sₙ = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - \tfrac{1}{2n+1}\bigr); c) a série converge e tem soma 1/2.

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