Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Passo 1
O exercício pede para calcular as somas parciais S₁, S₂, S₃, a soma parcial geral Sₙ e a soma da série ∑ₙ₌₁^∞ 1/(4n²−1). O conteúdo envolve somas telescópicas e usaremos decomposição em frações parciais para resolver.
Passo 2
Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais de 1/(4n²−1). Note que 4n²−1 = (2n−1)(2n+1), então procuramos A e B tais que
Resolvendo dá A=1/2 e B=−1/2, logo
Passo 3
Agora somamos de n=1 até n para obter Sₙ. Usando a forma telescópica:
Ao expandir, quase todos os termos se cancelam, sobrando
Passo 4
Para achar S₁, S₂ e S₃, substituímos n=1,2,3 na fórmula de Sₙ:
Para n=1: .
Para n=2: .
Para n=3: .
Para n=1:
Para n=2:
Para n=3:
Passo 5
Para verificar a convergência, fazemos
em Sₙ. Como
, temos
Logo a série converge e sua soma é 1/2.
Resposta
a) S₁ = 1/3, S₂ = 2/5, S₃ = 3/7; b) Sₙ = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - \tfrac{1}{2n+1}\bigr); c) a série converge e tem soma 1/2.