Exercs. 7-16: Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
3+3(-4)+ldots+3(-4)^n-1+ldots

Passo 1

A série dada é
3 + 3(-4) + 3(-4)^2 + … + 3(-4)^n-1 + …; o conteúdo é séries infinitas e vamos usar o Teorema 11.15, que trata de séries geométricas e sua soma quando convergem.

Passo 2

Identificamos o primeiro termo e a razão: o termo inicial é a=3 e a razão é r=3(-4)3=-14.

Passo 3

Para que uma série geométrica infinita converja, é preciso que |r|<1. Aqui temos |r|=| -tfrac14|=tfrac14<1, logo a série converge.

Passo 4

Como converge, a soma é dada pela fórmula S=a1-r. Substituindo, temos
S=31-(-tfrac14)=31+tfrac14=3tfrac54=125

Resposta

A série converge e sua soma é 125.

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