Exercs. 7-16: Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
1+(e3)+ldots+(e3)^n-1+ldots

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema (11.15) de séries geométricas para analisar a série
1 + e3 + … + e3^{n-1} + …, isto é, determinar convergência e, se convergir, encontrar sua soma.

Passo 2

Segundo o Teorema (11.15), uma série geométrica de primeiro termo a e razão r tem convergência se e somente se |r|<1, e nesse caso sua soma é a/(1-r). Aqui identificamos:
  • primeiro termo: a = 1
  • razão: r = e3.

Passo 3

Verificamos a condição de convergência: como e≈2,718, temos
|r| = |e3| = e3 approx 0,906 < 1
logo a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma, obtemos
S = a1 - r = 11 - e3 = 13 - e3 = 33 - e

Resposta

A série converge e sua soma é 33 - e.

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