Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
f) ( ) Toda função diferenciável é contínua

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se toda função diferenciável é necessariamente contínua. O conteúdo da matéria envolve os conceitos de derivada (diferenciabilidade) e de limite (continuidade). Vamos usar a definição de derivada para mostrar que, sempre que ela existir num ponto, a função é contínua naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, recordemos a definição de derivada de uma função f num ponto x₀:
f'(x₀)=limhto0f(x₀+h)-f(x₀)h
Essa existência de limite implicando num valor finito é justamente a hipótese de diferenciabilidade em x₀.

Passo 3

Agora, para mostrar continuidade, usamos a definição: f é contínua em x₀ se
limxto x₀f(x)=f(x₀)
Observe que para h=x−x₀ temos x→x₀ ⇔ h→0. Da definição de derivada, podemos escrever
f(x₀+h)-f(x₀)=hcdotf(x₀+h)-f(x₀)h
Como limhto0(f(x₀+h)-f(x₀))/h=f'(x₀) é finito, ao multiplicar por h que tende a zero, obtemos
limhto0l(f(x₀+h)-f(x₀)r)=limhto0hcdotf(x₀+h)-f(x₀)h=0
Isso mostra que
limxto x₀f(x)-f(x₀)=0,
ou seja
limxto x₀f(x)=f(x₀),
o que é exatamente a continuidade de f em x₀.

Passo 4

Portanto, mostramos que em todo ponto onde f é diferenciável, ela também é contínua. Logo, a afirmação “toda função diferenciável é contínua” é verdadeira.

Resposta

V

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