Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
f) ( ) Toda função diferenciável é contínua
f) ( ) Toda função diferenciável é contínua
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se toda função diferenciável é necessariamente contínua. O conteúdo da matéria envolve os conceitos de derivada (diferenciabilidade) e de limite (continuidade). Vamos usar a definição de derivada para mostrar que, sempre que ela existir num ponto, a função é contínua naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, recordemos a definição de derivada de uma função f num ponto x₀:
Essa existência de limite implicando num valor finito é justamente a hipótese de diferenciabilidade em x₀.
Passo 3
Agora, para mostrar continuidade, usamos a definição: f é contínua em x₀ se
Observe que para h=x−x₀ temos x→x₀ ⇔ h→0. Da definição de derivada, podemos escrever
Como
é finito, ao multiplicar por h que tende a zero, obtemos
Isso mostra que
ou seja
o que é exatamente a continuidade de f em x₀.
Passo 4
Portanto, mostramos que em todo ponto onde f é diferenciável, ela também é contínua. Logo, a afirmação “toda função diferenciável é contínua” é verdadeira.
Resposta
V