Exercs. 17-20: Ache uma série de Taylor para
em c. (Não é preciso verificar que
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para achar uma série de Taylor para a função $ f(x) = e^{x} $ centrada em $ c = -3 $. Para isso, a gente vai precisar entender como funciona a série de Taylor e como aplicá-la a funções exponenciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ centrada em um ponto $ c $ é uma forma de expressar $ f(x) $ como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função naquele ponto. A fórmula geral é:
Aqui, $ f^{(n)}© $ representa a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ c $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{x} $. A coisa legal sobre a função exponencial é que todas as suas derivadas são iguais a ela mesma. Então:
Isso significa que, para qualquer ordem de derivada que a gente precise, a derivada será $ e^{x} $.
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ c = -3 $:
Então, cada termo da nossa série de Taylor vai ter $ e^{-3} $ multiplicando algo.
Passo 5
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Simplificando o termo $ (x - (-3)) $:
Passo 6
Finalizando, podemos escrever a série de Taylor para $ f(x) = e^{x} $ centrada em $ c = -3 $ como:
Resposta
A série de Taylor para $ f(x) = e^{x} $ centrada em $ c = -3 $ é: